ID: 00016375
Груз массой $m=0,5$ кг подвешен к концу лёгкой пружины жёсткостью $k=100$ Н/м, второй конец которой прикреплён к потолку. Сначала груз удерживают так, что пружина не деформирована и расположена вертикально. Затем груз отпускают без начальной скорости. Найдите максимальное удлинение пружины после начала движения груза. Ответ дайте в сантиметрах. Ускорение свободного падения считать равным $g=10$ м/с$^2$.
Источник: ФИПИ
Когда груз отпускают, он начинает падать и растягивает пружину. В самой нижней точке движения скорость груза снова равна нулю (он на миг останавливается, прежде чем начать двигаться вверх). Значит, в начале и в конце кинетической энергии нет — удобно применить закон сохранения энергии: вся потерянная грузом потенциальная энергия тяжести ушла в энергию растянутой пружины.
Пусть максимальное удлинение — $x$. Груз опустился на $x$, поэтому его потенциальная энергия тяжести уменьшилась на $mgx$. Эта энергия запаслась в пружине как $\dfrac{kx^2}{2}$:
$$mgx=\frac{kx^2}{2}.$$
Делим обе части на $x$ (он не ноль) и выражаем:
$$mg=\frac{kx}{2}\ \Rightarrow\ x=\frac{2mg}{k}.$$
Важно: это удлинение вдвое больше статического $\left(\dfrac{mg}{k}\right)$ — именно потому, что груз отпустили, а не плавно опустили.
$$x=\frac{2\cdot 0,5\cdot 10}{100}=\frac{10}{100}=0,1\ \text{м}=10\ \text{см}.$$