ID: 00016264
На горизонтальном столе лежит лист бумаги, на котором нарисован равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$. Длина боковой стороны этого треугольника $18$ см, угол при основании $30^\circ$. В его вершинах расположены одинаковые маленькие тяжёлые бусинки. На каком расстоянии от вершины $A$ расположен центр тяжести системы, состоящей из этих трёх бусинок? Ответ выразите в сантиметрах.
Источник: ФИПИ
Центр тяжести нескольких одинаковых грузиков лежит ровно в их «среднем» положении — для трёх равных масс это точка пересечения медиан треугольника. Известно, что эта точка делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит от вершины $A$ центр тяжести отстоит на $\frac{2}{3}$ длины медианы, проведённой из $A$.
Треугольник равнобедренный, бусинки в вершинах равны. Медиана из вершины $A$ к основанию $BC$ совпадает с высотой. Боковая сторона $AB=18$ см, угол при основании $30^\circ$. Высота из $A$:
$h_A=AB\sin 30^\circ = 18\cdot 0{,}5 = 9$ см.
Центр тяжести лежит на $\frac{2}{3}$ медианы от вершины:
$d=\dfrac{2}{3}h_A=\dfrac{2}{3}\cdot 9 = 6$ см.