ID: 00016194
Два искусственных спутника движутся вокруг однородной сферической планеты по круговым орбитам. Радиус орбиты первого спутника R_1=800 км, масса этого спутника m_1=50 кг. Радиус орбиты второго спутника R_2=1600 км. При этом спутники притягиваются к планете с одинаковыми по модулю силами.
Чему равна масса второго спутника? Ответ дайте в килограммах.
Источник: ФИПИ
Каждый спутник притягивается к планете по закону всемирного тяготения: F=G\dfrac{M_{пл}\,m}{R^2}, где R — расстояние от центра планеты до спутника (радиус орбиты). По условию обе силы равны, значит можно приравнять выражения. Масса планеты M_{пл} и постоянная G одинаковы для обоих и сократятся.
G\dfrac{M_{пл}\,m_1}{R_1^2}=G\dfrac{M_{пл}\,m_2}{R_2^2}. После сокращения G и M_{пл}: \dfrac{m_1}{R_1^2}=\dfrac{m_2}{R_2^2}.
m_2=m_1\cdot\dfrac{R_2^2}{R_1^2}=m_1\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^2.
Радиус вырос в \dfrac{1600}{800}=2 раза, поэтому масса должна вырасти в 2^2=4 раза (иначе сила уменьшилась бы).
m_2=50\cdot4=200 кг.
Ответ: 200 кг.