ID: 00016194
Два искусственных спутника движутся вокруг однородной сферической планеты по круговым орбитам. Радиус орбиты первого спутника $R_1=800$ км, масса этого спутника $m_1=50$ кг. Радиус орбиты второго спутника $R_2=1600$ км. При этом спутники притягиваются к планете с одинаковыми по модулю силами.
Чему равна масса второго спутника? Ответ дайте в килограммах.
Источник: ФИПИ
Каждый спутник притягивается к планете по закону всемирного тяготения: $F=G\dfrac{M_{пл}\,m}{R^2}$, где $R$ — расстояние от центра планеты до спутника (радиус орбиты). По условию обе силы равны, значит можно приравнять выражения. Масса планеты $M_{пл}$ и постоянная $G$ одинаковы для обоих и сократятся.
$G\dfrac{M_{пл}\,m_1}{R_1^2}=G\dfrac{M_{пл}\,m_2}{R_2^2}$. После сокращения $G$ и $M_{пл}$: $$\dfrac{m_1}{R_1^2}=\dfrac{m_2}{R_2^2}.$$
$m_2=m_1\cdot\dfrac{R_2^2}{R_1^2}=m_1\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^2$.
Радиус вырос в $\dfrac{1600}{800}=2$ раза, поэтому масса должна вырасти в $2^2=4$ раза (иначе сила уменьшилась бы).
$m_2=50\cdot4=200$ кг.