ID: 00016189
Малая сферическая планета радиусом $R=2000$ км равномерно вращается вокруг своей оси. Ускорение свободного падения на полюсе планеты равно $g=2{,}8$ м/с$^2$.
Чему равна угловая скорость вращения планеты, если тела, находящиеся на её экваторе, испытывают состояние невесомости? Ответ выразите в радианах за земные сутки и округлите до целого числа.
Источник: ФИПИ
На полюсе тело не движется по окружности, поэтому весь вес создаёт притяжение: там $g$ — это «чистая» гравитация. На экваторе же тело крутится вместе с планетой, и часть притяжения уходит на то, чтобы удерживать тело на круговой орбите (центростремительное ускорение). Невесомость на экваторе означает, что опора уже совсем не давит: всё притяжение целиком тратится на вращение. Тогда гравитационное ускорение равно центростремительному.
Для малой планеты гравитационное ускорение у поверхности одинаково на полюсе и на экваторе (зависит только от $R$), поэтому возьмём его равным $g$. Центростремительное ускорение при вращении: $a_{цс}=\omega^2 R$. Невесомость: $$g=\omega^2 R.$$
$\omega=\sqrt{\dfrac{g}{R}}$. Подставим СИ ($R=2{,}0\cdot10^6$ м): $$\omega=\sqrt{\dfrac{2{,}8}{2{,}0\cdot10^6}}\approx1{,}18\cdot10^{-3}\ \text{рад/с}.$$
В сутках $86400$ с, поэтому $$\omega=1{,}18\cdot10^{-3}\cdot86400\approx102\ \text{рад/сут}.$$