ID: 00016177
Ядро покоящегося нейтрального атома, находясь в однородном магнитном поле, испытывает $\alpha$-распад. При этом рождаются $\alpha$-частица и тяжёлый ион нового элемента. Выделившаяся при $\alpha$-распаде энергия $\Delta E$ целиком переходит в кинетическую энергию продуктов реакции. Трек $\alpha$-частицы находится в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Начальная часть трека напоминает дугу окружности радиусом $r$. Масса $\alpha$-частицы равна $m_\alpha$, её заряд равен $2e$, масса тяжёлого иона равна $M$. Найдите индукцию $B$ магнитного поля.
Источник: Сборник Гиголо
Распад идёт из покоя, поэтому суммарный импульс «до» был нулём — и «после» обязан остаться нулём. Значит $\alpha$-частица и тяжёлый ион разлетаются строго в разные стороны с РАВНЫМИ по модулю импульсами $p$. Это первый ключ. Второй ключ — энергия: вся выделившаяся $\Delta E$ разошлась на кинетику обоих осколков. А связь между импульсом и радиусом даёт магнитное поле: заряженная частица в поле закручивается по окружности, и её радиус $r = \frac{p}{qB}$. Соберём эти три факта вместе.
Закон сохранения импульса: $p_\alpha = p_{ион} = p$. Полная кинетическая энергия (через импульс $E_к = \frac{p^2}{2m}$):
$\Delta E = \dfrac{p^2}{2m_\alpha} + \dfrac{p^2}{2M} = \dfrac{p^2}{2m_\alpha}\left(1 + \dfrac{m_\alpha}{M}\right).$
Отсюда выражаем импульс $\alpha$-частицы:
$p = \sqrt{\dfrac{2m_\alpha\,\Delta E}{1 + \dfrac{m_\alpha}{M}}}.$
В магнитном поле сила Лоренца закручивает $\alpha$-частицу по окружности: $qvB = \dfrac{mv^2}{r}$, откуда $r = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{p}{qB}$. Заряд $\alpha$-частицы $q = 2e$, поэтому
$r = \dfrac{p}{2eB} \;\Rightarrow\; B = \dfrac{p}{2er}.$
$B = \dfrac{1}{2er}\sqrt{\dfrac{2m_\alpha\,\Delta E}{1 + \dfrac{m_\alpha}{M}}}.$
$B = \dfrac{1}{2er}\sqrt{\dfrac{2m_\alpha\,\Delta E}{1 + \dfrac{m_\alpha}{M}}}$