ID: 00016159
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью $S$ находится гелий. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной с жёсткостью $k$. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно $L$, а давление гелия в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению $p_0$ (см. рисунок). Какое количество теплоты $Q$ отведено от газа, если в результате поршень медленно переместился влево на расстояние $b \lt L$?
Источник: Сборник Гиголо
Поршень движется медленно, значит в каждый момент он почти в равновесии — сумма сил на нём равна нулю. Из этого вытащим, как меняется давление газа. Дальше — честный первый закон термодинамики: тепло идёт на изменение внутренней энергии газа плюс на работу, которую газ совершает. Газ одноатомный (гелий), поэтому $U = \tfrac{3}{2}pV$.
В начале давления слева и справа от поршня одинаковы ($p_0$), стенки гладкие, поэтому пружина не деформирована. Сдвинем поршень внутрь на $x$ — пружина сожмётся и начнёт толкать поршень обратно с силой $F_{упр}=kx$. Баланс сил на поршне даёт давление газа: $p(x) = p_0 - \dfrac{kx}{S}$. То есть с ростом $x$ давление линейно падает.
Начало: $V_1=SL$, $p_1=p_0$, значит $U_1=\dfrac{3}{2}p_0 S L$. Конец: поршень ушёл на $b$, объём $V_2=S(L-b)$, давление $p_2=p_0-\dfrac{kb}{S}$. Тогда $U_2=\dfrac{3}{2}p_2 V_2$, и изменение $\Delta U = U_2-U_1 = -\dfrac{3}{2}\big(kbL + p_0 S b - kb^2\big)$ (энергия падает — газ сжали и остудили).
Газ сжимают, поэтому работу совершает он отрицательную. По графику $p(x)$ это площадь трапеции, умноженная на $S$: $A_{12} = -\Big(p_0 - \dfrac{kb}{2S}\Big)Sb = -p_0 S b + \dfrac{kb^2}{2}$. По первому закону теплота, подведённая к газу, $Q_{подв}=\Delta U + A_{12}$. Она отрицательна — на деле тепло отводят. Отведённое тепло $Q=-Q_{подв}$:
$Q = -\Delta U - A_{12} = \dfrac{3}{2}kbL + \dfrac{5}{2}p_0 S b - 2kb^2.$
Q = (3/2)·kbL + (5/2)·p₀Sb − 2kb² (количество отведённой теплоты)