ID: 00016159
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью S находится гелий. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной с жёсткостью k. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно L, а давление гелия в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению p_0 (см. рисунок). Какое количество теплоты Q отведено от газа, если в результате поршень медленно переместился влево на расстояние b \lt L?
Источник: Сборник Гиголо
Поршень движется медленно, значит в каждый момент он почти в равновесии — сумма сил на нём равна нулю. Из этого вытащим, как меняется давление газа. Дальше — честный первый закон термодинамики: тепло идёт на изменение внутренней энергии газа плюс на работу, которую газ совершает. Газ одноатомный (гелий), поэтому U = \tfrac{3}{2}pV.
В начале давления слева и справа от поршня одинаковы (p_0), стенки гладкие, поэтому пружина не деформирована. Сдвинем поршень внутрь на x — пружина сожмётся и начнёт толкать поршень обратно с силой F_{упр}=kx. Баланс сил на поршне даёт давление газа: p(x) = p_0 - \dfrac{kx}{S}. То есть с ростом x давление линейно падает.
Начало: V_1=SL, p_1=p_0, значит U_1=\dfrac{3}{2}p_0 S L. Конец: поршень ушёл на b, объём V_2=S(L-b), давление p_2=p_0-\dfrac{kb}{S}. Тогда U_2=\dfrac{3}{2}p_2 V_2, и изменение \Delta U = U_2-U_1 = -\dfrac{3}{2}\big(kbL + p_0 S b - kb^2\big) (энергия падает — газ сжали и остудили).
Газ сжимают, поэтому работу совершает он отрицательную. По графику p(x) это площадь трапеции, умноженная на S: A_{12} = -\Big(p_0 - \dfrac{kb}{2S}\Big)Sb = -p_0 S b + \dfrac{kb^2}{2}. По первому закону теплота, подведённая к газу, Q_{подв}=\Delta U + A_{12}. Она отрицательна — на деле тепло отводят. Отведённое тепло Q=-Q_{подв}:
Q = -\Delta U - A_{12} = \dfrac{3}{2}kbL + \dfrac{5}{2}p_0 S b - 2kb^2.
Ответ: Q = (3/2)·kbL + (5/2)·p₀Sb − 2kb².
Q = (3/2)·kbL + (5/2)·p₀Sb − 2kb² (количество отведённой теплоты)