ID: 00016158
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем площадью $S$ находится гелий. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной жёсткостью $k$. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно $L$, а давление гелия в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению $p_0$ (см. рисунок). Какое количество теплоты $Q$ передано газу, если в результате поршень медленно переместился, увеличив объём газа, на расстояние $b$?
Источник: Сборник Гиголо
Тут связка из трёх сил: газ давит на поршень изнутри, атмосфера давит снаружи, и пружина тянет. Пока поршень едет медленно, его можно считать в равновесии в каждый момент — сумма сил равна нулю. Это даст, как меняется давление газа по мере выезда поршня. Дальше — первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$. Гелий одноатомный, поэтому удобно $U=\frac{3}{2}pV$.
В начале давления газа и атмосферы равны ($p_0=p_0$), значит пружина не деформирована. Когда поршень сместился на $x$, пружина растянулась и тянет его назад с силой $kx$. Условие равновесия поршня в проекции на ось движения: $pS=p_0 S+kx$. Отсюда давление газа растёт линейно: $p(x)=p_0+\frac{kx}{S}$.
Объём газа $V=S(L+x)$, поэтому $dV=S\,dx$. Работа газа при сдвиге от 0 до $b$ — это площадь под графиком $p(x)$: $A=\int_0^b p(x)\,S\,dx=\int_0^b\big(p_0 S+kx\big)dx=p_0 S b+\frac{kb^2}{2}$.
Для одноатомного газа $U=\frac{3}{2}pV$. В начале $U_1=\frac{3}{2}p_0 S L$. В конце $p_2=p_0+\frac{kb}{S}$, $V_2=S(L+b)$, поэтому $U_2=\frac{3}{2}\big(p_0+\frac{kb}{S}\big)S(L+b)=\frac{3}{2}\big(p_0 S L+p_0 S b+kbL+kb^2\big)$. Тогда $\Delta U=U_2-U_1=\frac{3}{2}\big(p_0 S b+kbL+kb^2\big)$.
$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\big(p_0 S b+kbL+kb^2\big)+\big(p_0 S b+\frac{1}{2}kb^2\big)$. Сводим подобные: $Q=\frac{3}{2}kbL+\frac{5}{2}p_0 S b+2kb^2$.
$Q=\frac{3}{2}kbL+\frac{5}{2}p_0 S b+2kb^2$