ID: 00016158
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем площадью S находится гелий. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной жёсткостью k. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно L, а давление гелия в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению p_0 (см. рисунок). Какое количество теплоты Q передано газу, если в результате поршень медленно переместился, увеличив объём газа, на расстояние b?
Источник: Сборник Гиголо
Тут связка из трёх сил: газ давит на поршень изнутри, атмосфера давит снаружи, и пружина тянет. Пока поршень едет медленно, его можно считать в равновесии в каждый момент — сумма сил равна нулю. Это даст, как меняется давление газа по мере выезда поршня. Дальше — первый закон термодинамики Q=\Delta U+A. Гелий одноатомный, поэтому удобно U=\frac{3}{2}pV.
В начале давления газа и атмосферы равны (p_0=p_0), значит пружина не деформирована. Когда поршень сместился на x, пружина растянулась и тянет его назад с силой kx. Условие равновесия поршня в проекции на ось движения: pS=p_0 S+kx. Отсюда давление газа растёт линейно: p(x)=p_0+\frac{kx}{S}.
Объём газа V=S(L+x), поэтому dV=S\,dx. Работа газа при сдвиге от 0 до b — это площадь под графиком p(x): A=\int_0^b p(x)\,S\,dx=\int_0^b\big(p_0 S+kx\big)dx=p_0 S b+\frac{kb^2}{2}.
Для одноатомного газа U=\frac{3}{2}pV. В начале U_1=\frac{3}{2}p_0 S L. В конце p_2=p_0+\frac{kb}{S}, V_2=S(L+b), поэтому U_2=\frac{3}{2}\big(p_0+\frac{kb}{S}\big)S(L+b)=\frac{3}{2}\big(p_0 S L+p_0 S b+kbL+kb^2\big). Тогда \Delta U=U_2-U_1=\frac{3}{2}\big(p_0 S b+kbL+kb^2\big).
Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\big(p_0 S b+kbL+kb^2\big)+\big(p_0 S b+\frac{1}{2}kb^2\big). Сводим подобные: Q=\frac{3}{2}kbL+\frac{5}{2}p_0 S b+2kb^2.
Ответ: Q=\frac{3}{2}kbL+\frac{5}{2}p_0 S b+2kb^2
Q=\frac{3}{2}kbL+\frac{5}{2}p_0 S b+2kb^2