ID: 00016138
Груз массой $m=1$ кг подвесили на невесомой пружине, и он мог совершать вертикальные гармонические колебания с некоторой частотой. Затем параллельно первой пружине присоединили вторую такую же и подвесили к ним другой груз. Частота колебаний новой системы оказалась вдвое меньше, чем прежней. Чему равна масса $M$ второго груза? Какие законы Вы используете для описания колебательного движения маятника? Обоснуйте их применимость.
Источник: ФИПИ
Груз на пружине — это пружинный маятник, его частота зависит от жёсткости пружины и массы груза. Сначала груз $m$ на одной пружине жёсткостью $k$. Потом ставят вторую такую же пружину параллельно (жёсткости складываются, получается $2k$) и вешают другой груз $M$, а частота падает вдвое. Из формулы частоты пружинного маятника и находим $M$.
Частота пружинного маятника $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k_{эфф}}{m}}$. Первая система: $\nu_1=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$. Вторая: две одинаковые пружины параллельно дают суммарную жёсткость $2k$, груз $M$, поэтому $\nu_2=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{2k}{M}}$.
По условию $\nu_2=\dfrac{\nu_1}{2}$, то есть $\dfrac{\nu_2}{\nu_1}=\dfrac{1}{2}$. Возведём отношение в квадрат: $\dfrac{\nu_2^2}{\nu_1^2}=\dfrac{2k/M}{k/m}=\dfrac{2m}{M}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$.
Из $\dfrac{2m}{M}=\dfrac{1}{4}$ получаем $M=8m=8\cdot1=8$ кг.
Груз считаем материальной точкой, пружины — невесомыми и подчиняющимися закону Гука, тогда колебания гармонические и применима формула частоты пружинного маятника $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k_{эфф}/m}$. При параллельном соединении двух пружин их удлинения одинаковы, а силы складываются, поэтому эффективная жёсткость равна сумме жёсткостей: $k_{эфф}=k+k=2k$. Это и позволяет связать две частоты.
8