ID: 00016138
Груз массой m=1 кг подвесили на невесомой пружине, и он мог совершать вертикальные гармонические колебания с некоторой частотой. Затем параллельно первой пружине присоединили вторую такую же и подвесили к ним другой груз. Частота колебаний новой системы оказалась вдвое меньше, чем прежней. Чему равна масса M второго груза? Какие законы Вы используете для описания колебательного движения маятника? Обоснуйте их применимость.
Источник: ФИПИ
Груз на пружине — это пружинный маятник, его частота зависит от жёсткости пружины и массы груза. Сначала груз m на одной пружине жёсткостью k. Потом ставят вторую такую же пружину параллельно (жёсткости складываются, получается 2k) и вешают другой груз M, а частота падает вдвое. Из формулы частоты пружинного маятника и находим M.
Частота пружинного маятника \nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k_{эфф}}{m}}. Первая система: \nu_1=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}. Вторая: две одинаковые пружины параллельно дают суммарную жёсткость 2k, груз M, поэтому \nu_2=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{2k}{M}}.
По условию \nu_2=\dfrac{\nu_1}{2}, то есть \dfrac{\nu_2}{\nu_1}=\dfrac{1}{2}. Возведём отношение в квадрат: \dfrac{\nu_2^2}{\nu_1^2}=\dfrac{2k/M}{k/m}=\dfrac{2m}{M}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}.
Из \dfrac{2m}{M}=\dfrac{1}{4} получаем M=8m=8\cdot1=8 кг.
Груз считаем материальной точкой, пружины — невесомыми и подчиняющимися закону Гука, тогда колебания гармонические и применима формула частоты пружинного маятника \nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k_{эфф}/m}. При параллельном соединении двух пружин их удлинения одинаковы, а силы складываются, поэтому эффективная жёсткость равна сумме жёсткостей: k_{эфф}=k+k=2k. Это и позволяет связать две частоты.
Ответ: 8 кг.
8