Задание 26 ЕГЭ по физике №00016138

Идея

Груз на пружине — это пружинный маятник, его частота зависит от жёсткости пружины и массы груза. Сначала груз $m$ на одной пружине жёсткостью $k$. Потом ставят вторую такую же пружину параллельно (жёсткости складываются, получается $2k$) и вешают другой груз $M$, а частота падает вдвое. Из формулы частоты пружинного маятника и находим $M$.

Шаг 1. Частоты двух систем

Частота пружинного маятника $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k_{эфф}}{m}}$. Первая система: $\nu_1=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$. Вторая: две одинаковые пружины параллельно дают суммарную жёсткость $2k$, груз $M$, поэтому $\nu_2=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{2k}{M}}$.

Шаг 2. Условие «частота вдвое меньше»

По условию $\nu_2=\dfrac{\nu_1}{2}$, то есть $\dfrac{\nu_2}{\nu_1}=\dfrac{1}{2}$. Возведём отношение в квадрат: $\dfrac{\nu_2^2}{\nu_1^2}=\dfrac{2k/M}{k/m}=\dfrac{2m}{M}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$.

Шаг 3. Находим массу

Из $\dfrac{2m}{M}=\dfrac{1}{4}$ получаем $M=8m=8\cdot1=8$ кг.

Обоснование

Груз считаем материальной точкой, пружины — невесомыми и подчиняющимися закону Гука, тогда колебания гармонические и применима формула частоты пружинного маятника $\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k_{эфф}/m}$. При параллельном соединении двух пружин их удлинения одинаковы, а силы складываются, поэтому эффективная жёсткость равна сумме жёсткостей: $k_{эфф}=k+k=2k$. Это и позволяет связать две частоты.