ID: 00016134
Изготовленная из соснового дерева тонкая прямая однородная палочка объёмом V_0=27{,}2 см³ закреплена за свой верхний конец на горизонтальной оси, вокруг которой она может вращаться в вертикальной плоскости. К нижнему концу этой палочки на тонкой лёгкой нити привязан алюминиевый шарик. Шарик и нижняя часть палочки погружены в сосуд с водой, причём ниже уровня воды располагается ровно половина палочки, и палочка находится в равновесии. Определите объём алюминиевого шарика. Плотность сосны \rho_д=400 кг/м³, алюминия \rho_{Al}=2700 кг/м³, воды \rho_в=1000 кг/м³.
Источник: ФИПИ
Палочка закреплена сверху на оси и может качаться — это рычаг. На неё действуют: вес самой палочки, выталкивающая сила воды на её нижнюю половину, а на нижнем конце — вес и выталкивающая сила алюминиевого шарика. Палочка стоит ровно, значит суммарный момент всех этих сил относительно оси равен нулю. Из этого баланса находим объём шарика.
Пусть длина палочки L, площадь сечения s, тогда её объём V_0=sL. Ось — наверху. Вниз тянут: вес палочки \rho_д V_0 g (приложен в середине, плечо L/2) и вес шарика \rho_{Al} V_ш g (на конце, плечо L). Вверх: архимедова сила на нижнюю (погружённую) половину палочки \rho_в\frac{V_0}{2}g (её центр — середина нижней половины, плечо \frac{3L}{4}) и архимедова сила на шарик \rho_в V_ш g (плечо L).
Сокращаем g и L: \rho_д V_0\cdot\frac12+\rho_{Al}V_ш\cdot1=\rho_в\frac{V_0}{2}\cdot\frac34+\rho_в V_ш\cdot1. Отсюда V_ш(\rho_{Al}-\rho_в)=\rho_в V_0\frac38-\rho_д\frac{V_0}{2}.
Сосна \rho_д=400 кг/м³, алюминий \rho_{Al}=2700 кг/м³, вода \rho_в=1000 кг/м³, V_0=27{,}2 см³. V_ш=\dfrac{1000\cdot27{,}2\cdot\frac38-400\cdot27{,}2\cdot\frac12}{2700-1000}=\dfrac{10200-5440}{1700}\approx2{,}8 см³.
Палочка однородная и прямая, шарик — материальная точка на её конце, система покоится — значит работает условие равновесия рычага: сумма моментов относительно оси равна нулю. Силы тяжести и архимедовы силы вертикальны, их плечи берём как горизонтальные расстояния от оси; так как все силы вертикальны и палочка прямая, плечи пропорциональны положению точки приложения вдоль палочки, и наклон в уравнение не входит. Архимедовы силы считаем по закону Архимеда для погружённых частей.
Ответ: 2,8 см³.
2,8