ID: 00016134
Изготовленная из соснового дерева тонкая прямая однородная палочка объёмом $V_0=27{,}2$ см³ закреплена за свой верхний конец на горизонтальной оси, вокруг которой она может вращаться в вертикальной плоскости. К нижнему концу этой палочки на тонкой лёгкой нити привязан алюминиевый шарик. Шарик и нижняя часть палочки погружены в сосуд с водой, причём ниже уровня воды располагается ровно половина палочки, и палочка находится в равновесии. Определите объём алюминиевого шарика. Плотность сосны $\rho_д=400$ кг/м³, алюминия $\rho_{Al}=2700$ кг/м³, воды $\rho_в=1000$ кг/м³.
Источник: ФИПИ
Палочка закреплена сверху на оси и может качаться — это рычаг. На неё действуют: вес самой палочки, выталкивающая сила воды на её нижнюю половину, а на нижнем конце — вес и выталкивающая сила алюминиевого шарика. Палочка стоит ровно, значит суммарный момент всех этих сил относительно оси равен нулю. Из этого баланса находим объём шарика.
Пусть длина палочки $L$, площадь сечения $s$, тогда её объём $V_0=sL$. Ось — наверху. Вниз тянут: вес палочки $\rho_д V_0 g$ (приложен в середине, плечо $L/2$) и вес шарика $\rho_{Al} V_ш g$ (на конце, плечо $L$). Вверх: архимедова сила на нижнюю (погружённую) половину палочки $\rho_в\frac{V_0}{2}g$ (её центр — середина нижней половины, плечо $\frac{3L}{4}$) и архимедова сила на шарик $\rho_в V_ш g$ (плечо $L$).
Сокращаем $g$ и $L$: $\rho_д V_0\cdot\frac12+\rho_{Al}V_ш\cdot1=\rho_в\frac{V_0}{2}\cdot\frac34+\rho_в V_ш\cdot1$. Отсюда $V_ш(\rho_{Al}-\rho_в)=\rho_в V_0\frac38-\rho_д\frac{V_0}{2}$.
Сосна $\rho_д=400$ кг/м³, алюминий $\rho_{Al}=2700$ кг/м³, вода $\rho_в=1000$ кг/м³, $V_0=27{,}2$ см³. $V_ш=\dfrac{1000\cdot27{,}2\cdot\frac38-400\cdot27{,}2\cdot\frac12}{2700-1000}=\dfrac{10200-5440}{1700}\approx2{,}8$ см³.
Палочка однородная и прямая, шарик — материальная точка на её конце, система покоится — значит работает условие равновесия рычага: сумма моментов относительно оси равна нулю. Силы тяжести и архимедовы силы вертикальны, их плечи берём как горизонтальные расстояния от оси; так как все силы вертикальны и палочка прямая, плечи пропорциональны положению точки приложения вдоль палочки, и наклон в уравнение не входит. Архимедовы силы считаем по закону Архимеда для погружённых частей.
2,8