Идея

Цилиндр лежит на шероховатой наклонной плоскости, а сверху по касательной идёт нить параллельно плоскости — к стене. Это статика твёрдого тела: должны обнулиться и сумма сил, и сумма моментов. Предельный угол — это когда трение «на пределе», то есть f=\mu N.

Шаг 1. Моменты относительно центра

Нить приложена к верхней точке (плечо R), сила трения — в точке касания снизу (плечо R). Вес и реакция N проходят через центр, момента не дают. Баланс моментов: T\cdot R=f\cdot R, значит T=f.

Шаг 2. Силы вдоль и поперёк плоскости

Вдоль наклона (нить и трение держат цилиндр от скатывания): T+f=mg\sin\alpha. С учётом T=f получаем 2f=mg\sin\alpha, то есть f=\dfrac{mg\sin\alpha}{2}. Поперёк: N=mg\cos\alpha.

Шаг 3. Предельный угол

На пределе f=\mu N: \dfrac{mg\sin\alpha}{2}=\mu\, mg\cos\alpha, откуда \tan\alpha=2\mu=2\cdot0{,}5=1, то есть \alpha=45^\circ. Радиус и масса в ответ не входят.

Обоснование

Цилиндр покоится — применимы условия равновесия твёрдого тела: сумма сил и сумма моментов равны нулю. Нить невесома и параллельна плоскости, поэтому её натяжение направлено вдоль наклона, а плечо относительно центра равно радиусу R. Трение — сухое трение покоя; в предельном (критическом) положении оно достигает максимума f=\mu N. Именно это равенство и даёт предельный угол.

Ответ: 45°.