Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00016133

Идея

Цилиндр лежит на шероховатой наклонной плоскости, а сверху по касательной идёт нить параллельно плоскости — к стене. Это статика твёрдого тела: должны обнулиться и сумма сил, и сумма моментов. Предельный угол — это когда трение «на пределе», то есть $f=\mu N$.

Шаг 1. Моменты относительно центра

Нить приложена к верхней точке (плечо $R$), сила трения — в точке касания снизу (плечо $R$). Вес и реакция $N$ проходят через центр, момента не дают. Баланс моментов: $T\cdot R=f\cdot R$, значит $T=f$.

Шаг 2. Силы вдоль и поперёк плоскости

Вдоль наклона (нить и трение держат цилиндр от скатывания): $T+f=mg\sin\alpha$. С учётом $T=f$ получаем $2f=mg\sin\alpha$, то есть $f=\dfrac{mg\sin\alpha}{2}$. Поперёк: $N=mg\cos\alpha$.

Шаг 3. Предельный угол

На пределе $f=\mu N$: $\dfrac{mg\sin\alpha}{2}=\mu\, mg\cos\alpha$, откуда $\tan\alpha=2\mu=2\cdot0{,}5=1$, то есть $\alpha=45^\circ$. Радиус и масса в ответ не входят.

Обоснование

Цилиндр покоится — применимы условия равновесия твёрдого тела: сумма сил и сумма моментов равны нулю. Нить невесома и параллельна плоскости, поэтому её натяжение направлено вдоль наклона, а плечо относительно центра равно радиусу $R$. Трение — сухое трение покоя; в предельном (критическом) положении оно достигает максимума $f=\mu N$. Именно это равенство и даёт предельный угол.