ID: 00016132
Источник: ФИПИ
Стержень невесомый и лежит на опоре — это классический рычаг. Условие равновесия рычага: сумма моментов сил относительно точки опоры равна нулю, то есть «вес слева на плечо слева» уравновешивает «вес справа на плечо справа». Опора стоит на $l/3$ от левого конца, значит левое плечо $l/3$, а правое — оставшиеся $l-l/3=2l/3$.
Равновесие в воздухе. Пока грузы висят в воздухе, на каждый действует просто сила тяжести: $$m_1g\cdot\dfrac{l}{3}=m_2g\cdot\dfrac{2l}{3}\ \Rightarrow\ m_1=2m_2.$$
Равновесие в жидкостях. Грузы полностью погрузили в воду (слева) и керосин (справа). На каждый груз теперь дополнительно действует выталкивающая сила Архимеда, направленная вверх, — она уменьшает «эффективный вес», с которым груз тянет свой конец стержня вниз. Плечи остаются те же (архимедова сила приложена к тому же грузу), поэтому условие равновесия переписывается так: $$\left(m_1g-\rho_{\text{в}}V_1g\right)\dfrac{l}{3}=\left(m_2g-\rho_{\text{к}}V_2g\right)\dfrac{2l}{3},$$ где $V_1=m_1/\rho_1$ и $V_2=m_2/\rho_2$ — объёмы грузов (плотность жидкости не путать с плотностью груза), $\rho_{\text{в}}=1000$ кг/м³ (вода), $\rho_{\text{к}}=800$ кг/м³ (керосин).
Упрощаем. Сокращаем $g$ и подставляем объёмы: $$m_1\left(1-\dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_1}\right)=2m_2\left(1-\dfrac{\rho_{\text{к}}}{\rho_2}\right).$$ Из первого шага уже знаем $m_1=2m_2$ — эти множители сокращаются с обеих сторон, и остаётся изящное равенство: $$\dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_1}=\dfrac{\rho_{\text{к}}}{\rho_2}.$$
Находим отношение. $$\dfrac{\rho_2}{\rho_1}=\dfrac{\rho_{\text{к}}}{\rho_{\text{в}}}=\dfrac{800}{1000}=0{,}8.$$
Какие законы использовали. Правило моментов (условие равновесия рычага) — применимо, так как стержень невесомый и жёсткий, а система в покое. Закон Архимеда — грузы полностью погружены в жидкости, значит выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости $\rho_{\text{ж}}Vg$.
0,8