ID: 00016129
Два небольших шара массами $m_1=0{,}2$ кг и $m_2=0{,}3$ кг закреплены на концах невесомого стержня $AB$, расположенного горизонтально на опорах $C$ и $D$ (см. рисунок). Расстояние между опорами $l=0{,}6$ м, а расстояние $AC$ равно $0{,}2$ м. Чему равна длина стержня $L$, если сила давления стержня на опору $D$ в 2 раза больше, чем на опору $C$? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень — шары».
Источник: ФИПИ
Стержень лежит на двух опорах, на концах — грузы. Это статика: сумма сил равна нулю и сумма моментов равна нулю. Сначала из условия про давление на опоры найдём сами реакции, потом из моментов — длину.
Вертикально: $N_C+N_D=(m_1+m_2)g$. По условию $N_D=2N_C$, значит $3N_C=(0{,}2+0{,}3)\cdot10=5$ Н, откуда $N_C=\dfrac{5}{3}$ Н, $N_D=\dfrac{10}{3}$ Н.
Поставим ось в точке A (там груз $m_1$, его плечо ноль). Опора C на расстоянии $AC=0{,}2$ м, опора D на расстоянии $AC+l=0{,}2+0{,}6=0{,}8$ м, груз $m_2$ на конце B на расстоянии $L$. Реакции крутят вверх, вес $m_2$ — вниз:
$N_C\cdot0{,}2+N_D\cdot0{,}8=m_2 g\cdot L$.
$\dfrac{5}{3}\cdot0{,}2+\dfrac{10}{3}\cdot0{,}8=0{,}3\cdot10\cdot L$, то есть $\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{3}=3L$, $3=3L$, $L=1$ м.
Стержень невесом, грузы — материальные точки на его концах, система покоится. Поэтому применимы условия равновесия твёрдого тела: равенство нулю суммы сил и суммы моментов относительно любой оси. Реакции опор направлены вертикально вверх, силы давления стержня на опоры равны им по модулю (третий закон Ньютона), поэтому условие $N_D=2N_C$ задаёт отношение реакций.
1