Идея

Когда пробка вылетает, пробирка по закону отдачи начинает двигаться назад (горизонтально). Но она висит на двух вертикальных нитях — значит начинает качаться как маятник, и в нижней точке нити натянуты сильнее всего (вес плюс центростремительная добавка). Чтобы нити порвались, эта добавка должна быть достаточной — отсюда минимальная масса пробки.

Скорость пробирки от отдачи

В момент вылета горизонтальный импульс системы «пробирка + пробка» сохраняется (нити вертикальны, горизонтальной силы нет): M\,V=m\,\upsilon, где \upsilon=10 м/с — скорость пробки. Значит V=\dfrac{m\,\upsilon}{M}.

Условие разрыва нитей

Сразу после вылета пробирка в нижней точке дуги движется со скоростью V. На неё действуют две нити (суммарно 2T) вверх и вес Mg вниз, равнодействующая — центростремительная: 2T-Mg=\dfrac{MV^2}{L}. Берём предельный случай (нити только-только рвутся): 2T_{\max}-Mg=\dfrac{MV^2}{L}. Отсюда V^2=\dfrac{(2T-Mg)L}{M}=\dfrac{(2\cdot0{,}5-0{,}05\cdot10)\cdot0{,}4}{0{,}05}=\dfrac{0{,}5\cdot0{,}4}{0{,}05}=4, то есть V=2 м/с.

Минимальная масса пробки

Из закона импульса: m=\dfrac{M\,V}{\upsilon}=\dfrac{0{,}05\cdot2}{10}=0{,}01 кг.

Обоснование

Вылет пробки — мгновенный процесс; за это время пробирка не успевает сместиться, нити остаются вертикальными и не дают горизонтального импульса, поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса системы «пробирка + пробка». Сразу после вылета пробирка проходит низшую точку дуги, где её ускорение центростремительное, и баланс сил даёт 2T-Mg=MV^2/L (две нити тянут одинаково). Тела — материальные точки; «минимальная масса» означает, что натяжение достигает предельного T ровно в этот момент.

Ответ: 0,01 кг.