ID: 00016123
На горизонтальной плоскости находятся два гладких абсолютно упругих одинаковых биллиардных шара: первый покоится, а второй движется в его направлении со скоростью V_0. После их столкновения первый шар отскочил со скоростью V_1=V_0/2. Чему равен радиус R шаров, если «прицельное расстояние» между прямой, по которой двигался центр второго шара, и центром первого шара было равно d=59 мм? Какие законы Вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применимость. Ответ выразите в миллиметрах и округлите до целых.
Источник: ФИПИ
Главный факт об упругом ударе ОДИНАКОВЫХ шаров: после столкновения они разлетаются под прямым углом, а покоившийся шар уезжает строго вдоль линии центров (по направлению удара). Геометрия удара задаётся «прицельным расстоянием» d: чем больше d, тем «вскользь» удар.
В момент касания линия, соединяющая центры шаров, наклонена к скорости V_0 на угол \theta, причём \sin\theta=\dfrac{d}{2R} (расстояние между центрами при касании равно 2R). Покоившийся первый шар получает импульс вдоль линии центров, поэтому его скорость V_1=V_0\cos\theta.
По условию V_1=\dfrac{V_0}{2}, значит \cos\theta=\dfrac12, то есть \theta=60^\circ и \sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866. Тогда из \sin\theta=\dfrac{d}{2R}: \;R=\dfrac{d}{2\sin\theta}=\dfrac{59}{2\cdot0{,}866}\approx34 мм.
Шары гладкие — значит в ударе они толкают друг друга только вдоль линии центров (нет касательной силы), поэтому покоившийся шар уезжает именно по этой линии. Удар абсолютно упругий и шары одинаковой массы — отсюда классический результат: разлёт под 90^\circ и V_1=V_0\cos\theta (следствие законов сохранения импульса и кинетической энергии). Шары считаем твёрдыми телами радиуса R; «прицельное расстояние» связывает геометрию касания с углом \theta через 2R.
Ответ: 34 мм.
34