ID: 00016123
На горизонтальной плоскости находятся два гладких абсолютно упругих одинаковых биллиардных шара: первый покоится, а второй движется в его направлении со скоростью $V_0$. После их столкновения первый шар отскочил со скоростью $V_1=V_0/2$. Чему равен радиус $R$ шаров, если «прицельное расстояние» между прямой, по которой двигался центр второго шара, и центром первого шара было равно $d=59$ мм? Какие законы Вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применимость. Ответ выразите в миллиметрах и округлите до целых.
Источник: ФИПИ
Главный факт об упругом ударе ОДИНАКОВЫХ шаров: после столкновения они разлетаются под прямым углом, а покоившийся шар уезжает строго вдоль линии центров (по направлению удара). Геометрия удара задаётся «прицельным расстоянием» $d$: чем больше $d$, тем «вскользь» удар.
В момент касания линия, соединяющая центры шаров, наклонена к скорости $V_0$ на угол $\theta$, причём $\sin\theta=\dfrac{d}{2R}$ (расстояние между центрами при касании равно $2R$). Покоившийся первый шар получает импульс вдоль линии центров, поэтому его скорость $V_1=V_0\cos\theta$.
По условию $V_1=\dfrac{V_0}{2}$, значит $\cos\theta=\dfrac12$, то есть $\theta=60^\circ$ и $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866$. Тогда из $\sin\theta=\dfrac{d}{2R}$: $\;R=\dfrac{d}{2\sin\theta}=\dfrac{59}{2\cdot0{,}866}\approx34$ мм.
Шары гладкие — значит в ударе они толкают друг друга только вдоль линии центров (нет касательной силы), поэтому покоившийся шар уезжает именно по этой линии. Удар абсолютно упругий и шары одинаковой массы — отсюда классический результат: разлёт под $90^\circ$ и $V_1=V_0\cos\theta$ (следствие законов сохранения импульса и кинетической энергии). Шары считаем твёрдыми телами радиуса $R$; «прицельное расстояние» связывает геометрию касания с углом $\theta$ через $2R$.
34