ID: 00016121
Шарик массой m=400 г, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной l=80 см, отвели в сторону от положения равновесия и отпустили. Нить обрывается при силе натяжения T_0=12 Н. При прохождении положения равновесия нить оборвалась, и шарик абсолютно неупруго столкнулся с покоившимся на гладкой поверхности стола бруском. После удара брусок приобрёл скорость u=0{,}8 м/с. Найдите массу бруска. Ответ выразите в килограммах.
Источник: ФИПИ
Сначала найдём скорость шарика в нижней точке — именно там нить рвётся, потому что натяжение максимально (вес плюс центростремительная добавка). Потом — неупругий удар о брусок, где сохраняется импульс, и через скорость бруска вытащим его массу.
В нижней точке на шарик действуют натяжение T_0 вверх и вес mg вниз; их равнодействующая — центростремительная сила: T_0-mg=\dfrac{m\upsilon^2}{l}. Отсюда \upsilon^2=\dfrac{(T_0-mg)\,l}{m}=\dfrac{(12-0{,}4\cdot10)\cdot0{,}8}{0{,}4}=\dfrac{8\cdot0{,}8}{0{,}4}=16, то есть \upsilon=4 м/с.
Нить оборвалась ровно в нижней точке, и шарик абсолютно неупруго (вместе) бьёт брусок. По закону сохранения импульса: m\upsilon=(m+M)\,u. Подставляем числа: 0{,}4\cdot4=(0{,}4+M)\cdot0{,}8, то есть 1{,}6=0{,}32+0{,}8M, откуда M=\dfrac{1{,}6-0{,}32}{0{,}8}=1{,}6 кг.
Шарик считаем материальной точкой. В нижней точке движение по дуге — ускорение центростремительное, поэтому равнодействующая натяжения и веса равна m\upsilon^2/l; до обрыва нить нерастяжима, энергия сохраняется (но здесь хватило прямого баланса сил). Удар о брусок абсолютно неупругий и мгновенный: за время удара внешние горизонтальные силы (трения нет — поверхность гладкая) импульса не передают, поэтому горизонтальный импульс системы «шарик + брусок» сохраняется.
Ответ: 1,6 кг.
1,6