ID: 00016121
Шарик массой $m=400$ г, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной $l=80$ см, отвели в сторону от положения равновесия и отпустили. Нить обрывается при силе натяжения $T_0=12$ Н. При прохождении положения равновесия нить оборвалась, и шарик абсолютно неупруго столкнулся с покоившимся на гладкой поверхности стола бруском. После удара брусок приобрёл скорость $u=0{,}8$ м/с. Найдите массу бруска. Ответ выразите в килограммах.
Источник: ФИПИ
Сначала найдём скорость шарика в нижней точке — именно там нить рвётся, потому что натяжение максимально (вес плюс центростремительная добавка). Потом — неупругий удар о брусок, где сохраняется импульс, и через скорость бруска вытащим его массу.
В нижней точке на шарик действуют натяжение $T_0$ вверх и вес $mg$ вниз; их равнодействующая — центростремительная сила: $T_0-mg=\dfrac{m\upsilon^2}{l}$. Отсюда $\upsilon^2=\dfrac{(T_0-mg)\,l}{m}=\dfrac{(12-0{,}4\cdot10)\cdot0{,}8}{0{,}4}=\dfrac{8\cdot0{,}8}{0{,}4}=16$, то есть $\upsilon=4$ м/с.
Нить оборвалась ровно в нижней точке, и шарик абсолютно неупруго (вместе) бьёт брусок. По закону сохранения импульса: $m\upsilon=(m+M)\,u$. Подставляем числа: $0{,}4\cdot4=(0{,}4+M)\cdot0{,}8$, то есть $1{,}6=0{,}32+0{,}8M$, откуда $M=\dfrac{1{,}6-0{,}32}{0{,}8}=1{,}6$ кг.
Шарик считаем материальной точкой. В нижней точке движение по дуге — ускорение центростремительное, поэтому равнодействующая натяжения и веса равна $m\upsilon^2/l$; до обрыва нить нерастяжима, энергия сохраняется (но здесь хватило прямого баланса сил). Удар о брусок абсолютно неупругий и мгновенный: за время удара внешние горизонтальные силы (трения нет — поверхность гладкая) импульса не передают, поэтому горизонтальный импульс системы «шарик + брусок» сохраняется.
1,6