ID: 00016120
Маятник состоит из маленького груза массой $M=200$ г, висящего на лёгкой нерастяжимой нити длиной $L=100$ см. Он висит в состоянии покоя в вертикальном положении. В груз ударяется и прилипает к нему небольшое тело массой $m=100$ г, летевшее в горизонтальном направлении. В результате возникает вращение маятника в вертикальной плоскости вокруг его точки подвеса, причём груз маятника всё время движется по окружности и в верхней точке нить ещё натянута. Найдите минимальную скорость, с которой летело тело. Ответ выразите в м/с.
Источник: ФИПИ
Снова два этапа. Сначала прилипание (абсолютно неупругий удар) — тут сохраняется только импульс. Потом подъём «маятника» по полному кругу — тут работает энергия плюс условие минимума скорости в верхней точке (нить не должна провиснуть).
Чтобы маятник прошёл полный круг, в самой верхней точке нить хотя бы натянута, то есть минимально вес даёт центростремительное ускорение: $\;(M+m)g=\dfrac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{L}$, откуда $v_{\text{в}}^2=gL$.
От нижней точки до верхней груз поднимается на $2L$. Закон сохранения энергии: $\dfrac{(M+m)v_{\text{н}}^2}{2}=\dfrac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{2}+(M+m)g\cdot2L$. Сокращаем массу: $v_{\text{н}}^2=v_{\text{в}}^2+4gL=gL+4gL=5gL$. При $L=1$ м: $v_{\text{н}}^2=50$, $v_{\text{н}}=\sqrt{50}\approx7{,}07$ м/с.
Слипшийся комок массой $M+m=0{,}3$ кг получил скорость $v_{\text{н}}$ за счёт удара. Закон сохранения импульса при неупругом ударе: $m\,v_0=(M+m)\,v_{\text{н}}$, откуда $v_0=\dfrac{(M+m)\,v_{\text{н}}}{m}=\dfrac{0{,}3\cdot7{,}07}{0{,}1}\approx21$ м/с.
В момент удара тело прилипает к грузу — это абсолютно неупругий удар; он мгновенный, за время удара тела не успевают сместиться, поэтому работает закон сохранения импульса (внешние силы — тяжесть и натяжение — не дают импульса за бесконечно малое время). На этапе подъёма нить нерастяжима и невесома, сопротивления нет — значит механическая энергия сохраняется. Тела — материальные точки; «полный оборот» задаёт минимум скорости вверху из условия $N\ge0$ (берём $N=0$).
21