ID: 00016118
На гоночных автотрассах используют так называемые «выведенные» повороты, на которых дорожное полотно наклонено под некоторым углом $\alpha$ к горизонту внутрь поворота. Известно, что при определённом угле $\alpha$ автомобиль может двигаться с постоянной скоростью $V=120$ км/ч по повороту с радиусом $R=300$ м таким образом, что полная сила реакции полотна дороги всё время перпендикулярна полотну, то есть у этой дороги отсутствует трение в поперечном направлении. Найдите угол наклона полотна $\alpha$.
Источник: СтатГрад
Раз полная сила реакции дороги $\vec{N}$ всё время перпендикулярна полотну (нет составляющей силы трения), то на машину действуют только два вектора: вес $m\vec{g}$ вниз и реакция $\vec{N}$ перпендикулярно наклонному полотну. Их сумма даёт центростремительную силу, направленную горизонтально к центру поворота. Это и удержит машину на круге.
Реакция $N$ наклонена на угол $\alpha$ от вертикали. По вертикали машина не ускоряется: $N\cos\alpha=mg$. По горизонтали вся горизонтальная проекция реакции идёт в центростремительное ускорение: $N\sin\alpha=\dfrac{mV^2}{R}$.
Поделив второе уравнение на первое, масса и $N$ уходят: $\tan\alpha=\dfrac{V^2}{gR}$. Это удобно — угол не зависит ни от массы, ни от $N$.
$V=120$ км/ч$=33{,}3$ м/с, значит $V^2\approx1111$ м²/с². Тогда $\tan\alpha=\dfrac{1111}{10\cdot300}=0{,}37$, откуда $\alpha\approx20^\circ$.
Автомобиль считаем материальной точкой, движущейся равномерно по окружности, поэтому ускорение чисто центростремительное и направлено горизонтально к центру. По условию полная реакция полотна перпендикулярна дороге — значит сила трения вдоль полотна равна нулю и в уравнения не входит. Применим второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта (земля), спроецировав его на вертикаль и на горизонталь.
20