ID: 00016118
На гоночных автотрассах используют так называемые «выведенные» повороты, на которых дорожное полотно наклонено под некоторым углом \alpha к горизонту внутрь поворота. Известно, что при определённом угле \alpha автомобиль может двигаться с постоянной скоростью V=120 км/ч по повороту с радиусом R=300 м таким образом, что полная сила реакции полотна дороги всё время перпендикулярна полотну, то есть у этой дороги отсутствует трение в поперечном направлении. Найдите угол наклона полотна \alpha.
Источник: ФИПИ
Раз полная сила реакции дороги \vec{N} всё время перпендикулярна полотну (нет составляющей силы трения), то на машину действуют только два вектора: вес m\vec{g} вниз и реакция \vec{N} перпендикулярно наклонному полотну. Их сумма даёт центростремительную силу, направленную горизонтально к центру поворота. Это и удержит машину на круге.
Реакция N наклонена на угол \alpha от вертикали. По вертикали машина не ускоряется: N\cos\alpha=mg. По горизонтали вся горизонтальная проекция реакции идёт в центростремительное ускорение: N\sin\alpha=\dfrac{mV^2}{R}.
Поделив второе уравнение на первое, масса и N уходят: \tan\alpha=\dfrac{V^2}{gR}. Это удобно — угол не зависит ни от массы, ни от N.
V=120 км/ч=33{,}3 м/с, значит V^2\approx1111 м²/с². Тогда \tan\alpha=\dfrac{1111}{10\cdot300}=0{,}37, откуда \alpha\approx20^\circ.
Автомобиль считаем материальной точкой, движущейся равномерно по окружности, поэтому ускорение чисто центростремительное и направлено горизонтально к центру. По условию полная реакция полотна перпендикулярна дороге — значит сила трения вдоль полотна равна нулю и в уравнения не входит. Применим второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта (земля), спроецировав его на вертикаль и на горизонталь.
Ответ: 20°.
20