ID: 00016108
Небольшая шайба массой m=10 г скатывается по внутренней поверхности гладкого закреплённого кольца радиусом R=0{,}16 м и в нижней точке приобретает некоторую скорость \upsilon (см. рисунок). На высоте h=0{,}2 м шайба отрывается от кольца и начинает свободно падать. Определите силу, с которой шайба давит на поверхность кольца в нижней точке траектории. Какие законы Вы использовали для описания движения шайбы?
Источник: ФИПИ
Шайба катается внутри гладкого кольца. В двух точках — внизу и в месте отрыва — на неё действуют только сила тяжести mg и сила реакции кольца N. Связать эти точки нам поможет закон сохранения энергии (трения нет, N всегда перпендикулярна скорости и работы не совершает), а в каждой точке отдельно — второй закон Ньютона в проекции на радиус (центростремительное ускорение).
Поверхность кольца гладкая, поэтому силы трения нет и полная механическая энергия сохраняется. Шайбу считаем материальной точкой. Кольцо закреплено, поэтому его центр неподвижен и движение шайбы — по окружности радиуса R. В момент отрыва шайба перестаёт давить на кольцо, значит реакция опоры обращается в ноль: N=0, и роль центростремительной силы играет только проекция силы тяжести.
Высота точки над низом h=R(1-\cos\varphi), отсюда \cos\varphi=1-h/R=1-0{,}2/0{,}16=-0{,}25 — точка выше центра. В этой точке N=0, поэтому центростремительное ускорение создаёт вертикальная проекция тяжести: mg\dfrac{h-R}{R}=\dfrac{mv_h^2}{R}, откуда v_h^2=g(h-R)=10\cdot(0{,}2-0{,}16)=0{,}4 м²/с².
\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{mv_h^2}{2}+mgh \Rightarrow v^2=v_h^2+2gh=0{,}4+2\cdot10\cdot0{,}2=4{,}4 м²/с².
В нижней точке второй закон Ньютона по вертикали: N-mg=\dfrac{mv^2}{R}, значит N=m\left(g+\dfrac{v^2}{R}\right)=0{,}01\left(10+\dfrac{4{,}4}{0{,}16}\right)\approx0{,}38 Н. По третьему закону Ньютона шайба давит на кольцо с такой же по модулю силой.
Ответ: 0,38 Н.
0,38