ID: 00016102
Пластилиновый шарик в момент $t=0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли с начальной скоростью $V_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. В какой момент времени $\tau$ шарики упадут на землю? Сопротивлением воздуха пренебречь. Какие законы Вы используете для описания движения шариков? Обоснуйте их применение.
Источник: ФИПИ
Два одинаковых шарика сталкиваются в воздухе и слипаются — неупругий удар, работает закон сохранения импульса. Условие «сразу после удара скорость горизонтальна» даёт момент удара. Дальше комок летит как тело, брошенное горизонтально, и время его падения находим из кинематики.
Шарики — материальные точки. Удар мгновенный, силой тяжести за время удара пренебрегаем, поэтому импульс сохраняется, а скорости в момент удара просто усредняются (массы равны). До и после удара движение — свободное падение в поле тяжести, поэтому применимы кинематические формулы равноускоренного движения с ускорением $g$.
Первый шарик: $v_y=V_0\sin\alpha-gt$. Второй (падает из покоя): $v_y=-gt$. После слипания (массы равны) вертикальная скорость — среднее: $\dfrac{(V_0\sin\alpha-gt)+(-gt)}{2}$. Она равна нулю (скорость горизонтальна): $V_0\sin\alpha-2gt=0\Rightarrow t_*=\dfrac{V_0\sin\alpha}{2g}$.
$y_*=V_0\sin\alpha\,t_*-\dfrac{g t_*^2}{2}=\dfrac{3V_0^2\sin^2\alpha}{8g}$.
После удара $v_y=0$, поэтому комок падает с высоты $y_*$ за время $t_{пад}=\sqrt{\dfrac{2y_*}{g}}=\sqrt{3}\,t_*$. Полное время до падения: $\tau=t_*+t_{пад}=t_*(1+\sqrt{3})=\dfrac{V_0\sin\alpha\,(1+\sqrt{3})}{2g}$.
$\tau=\dfrac{V_0\sin\alpha\,(1+\sqrt{3})}{2g}$