ID: 00016093
Какое ускорение $a$ поступательного движения можно сообщить однородному кубику, находящемуся на шероховатой горизонтальной плоскости, прикладывая к его верхнему ребру горизонтальную силу в плоскости симметрии кубика (см. рисунок)? Коэффициент трения кубика о плоскость равен $\mu=0{,}4$. Какие законы Вы используете для описания движения кубика? Обоснуйте их применение к данному случаю. Ответ дайте в м/с².
Источник: СтатГрад
Кубик толкают горизонтальной силой за верхнее ребро. Чем сильнее толкаешь — тем быстрее он едет, но в какой-то момент он начнёт опрокидываться вперёд. «Какое максимальное ускорение можно сообщить» — значит ищем самую большую силу, при которой кубик ещё едет поступательно, не кувыркаясь. Тут работают сразу второй закон Ньютона (для разгона) и правило моментов (граница опрокидывания).
Пусть ребро куба $b$, масса $m$, сила $F$ приложена горизонтально к верхнему ребру. По горизонтали: $F-F_{тр}=ma$. Кубик пока не отрывается, $N=mg$, а сила трения скольжения $F_{тр}=\mu N=\mu mg$. Значит $a=\dfrac{F-\mu mg}{m}=\dfrac{F}{m}-\mu g$ — чем больше $F$, тем больше $a$.
Возьмём моменты относительно центра масс куба. Сила $F$ приложена на высоте $b/2$ выше центра — её момент опрокидывает кубик вперёд: $F\cdot\dfrac{b}{2}$. Сила трения $\mu mg$ приложена снизу, на $b/2$ ниже центра, и тоже даёт момент в ту же сторону: $\mu mg\cdot\dfrac{b}{2}$. Удерживает кубик нормальная реакция $N$: на грани опрокидывания она вся смещается на переднее нижнее ребро, на расстояние $b/2$ перед центром, её момент $N\cdot\dfrac{b}{2}=mg\cdot\dfrac{b}{2}$. Баланс моментов: $F\cdot\dfrac{b}{2}+\mu mg\cdot\dfrac{b}{2}=mg\cdot\dfrac{b}{2}$, откуда $F=mg(1-\mu)$.
Подставляем предельную силу в выражение для ускорения: $a=\dfrac{F-\mu mg}{m}=\dfrac{mg(1-\mu)-\mu mg}{m}=g(1-2\mu)=10\,(1-2\cdot0{,}4)=10\cdot0{,}2=2$ м/с².
Пока кубик движется поступательно, его можно описывать как материальную точку и применять второй закон Ньютона по горизонтали; одновременно как твёрдое тело он не должен вращаться, поэтому правомерно правило моментов (сумма моментов относительно центра масс равна нулю). Трение сухое, кубик скользит, поэтому $F_{тр}=\mu N$. Предельный случай (максимум силы и ускорения) наступает в момент, когда нормальная реакция целиком переходит на переднее нижнее ребро — дальше кубик начал бы опрокидываться, и поступательное движение нарушилось бы.
2