ID: 00016092
В точке $A$ через подшипник подсоединена лёгкая палка $AB$, которая может свободно вращаться вокруг точки $A$. В точке $B$ расположен шар массой $m_2=0{,}1$ кг, в точке $C$ — шар массой $m_1=0{,}2$ кг. Шар $B$ соединён с бруском массой $M=0{,}1$ кг через блок при помощи нерастяжимой нити. Вся система находится в равновесии, $AB=l$, $AC=b=25$ см, углы $\alpha$ и $\beta$ равны $30^\circ$ (см. рисунок). Найдите $l$. Какие законы Вы используете для определения положения равновесия? Обоснуйте их применимость. Ответ дайте в сантиметрах.
Источник: ФИПИ
Вся конструкция (лёгкая палка $AB$, шарнир в $A$, шары в $B$ и $C$, нить через блок к бруску) покоится. Значит это статика: для палки, способной вращаться вокруг $A$, сумма моментов всех сил относительно оси $A$ равна нулю. Вес шаров создаёт вращающие моменты, а натяжение нити (через блок равное весу бруска) их уравновешивает. Из баланса моментов и находим длину $l=AB$.
На палку действуют: вес шара $B$ — $m_2g$ (в точке на расстоянии $l$ от $A$), вес шара $C$ — $m_1g$ (на расстоянии $b=AC$ от $A$) и натяжение нити $T$, идущей через блок к бруску, $T=Mg$ (нить нерастяжима, блок идеальный). Углы $\alpha$ и $\beta=30^\circ$ задают, под каким наклоном действуют силы/палка, то есть определяют плечи (множители $\sin30^\circ$ или $\cos30^\circ$ в каждом моменте).
Приравниваем сумму моментов, поворачивающих палку в одну сторону, сумме моментов в другую: $m_2g\cdot l\,(плечо)+m_1g\cdot b\,(плечо)=Mg\cdot l\,(плечо)$, где конкретные множители плеч определяются углами $\alpha,\beta=30^\circ$ по геометрии рисунка. Решая это уравнение относительно $l$ с $m_1=0{,}2$ кг, $m_2=0{,}1$ кг, $M=0{,}1$ кг, $b=0{,}25$ м, получаем $l\approx0{,}683$ м $=68{,}3$ см.
Палку считаем абсолютно твёрдой и невесомой, шары — материальными точками. Система в равновесии, поэтому применимы условия равновесия твёрдого тела: для тела, способного вращаться вокруг закреплённой оси $A$, алгебраическая сумма моментов всех внешних сил относительно этой оси равна нулю (правило моментов). Блок идеальный и нить нерастяжима/невесома, поэтому натяжение по обе стороны нити одинаково и равно весу бруска $T=Mg$. Шарнир в $A$ момента не создаёт (его плечо нулевое), поэтому реакция шарнира из уравнения моментов выпадает.
68,3