ID: 00016091
На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности лежит деревянное бревно, имеющее различные диаметры торцов, так, что линия, соединяющая нижние точки торцов бревна, расположена вдоль горизонтальной поверхности. Диаметр одного торца бревна больше другого. Чтобы приподнять бревно с одного конца, требуется сила $279$ Н, с другого — $621$ Н. Средняя плотность дерева равна $450$ кг/м³. Чему равен объём бревна? Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи. Ответ дайте в кубических метрах.
Источник: ФИПИ
Бревно лежит на гладкой поверхности, у него разные торцы, поэтому центр тяжести смещён к толстому концу. Мы его приподнимаем то за один край, то за другой. Это чистая статика: тело в равновесии, значит сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Хитрость в том, что если сложить два «приподнимания», расстояния до центра тяжести сократятся и останется только полный вес.
Пусть длина бревна $L$, вес $P=mg$ приложен в центре тяжести на расстояниях $a$ от конца 1 и $b$ от конца 2, причём $a+b=L$. Когда приподнимаем конец 1 силой $F_1$, второй конец остаётся опорой; равенство моментов относительно опертого конца 2: $F_1\cdot L=P\cdot b$. Аналогично при поднятии конца 2: $F_2\cdot L=P\cdot a$.
Сложим оба равенства: $F_1L+F_2L=P(a+b)=P\cdot L$. Делим на $L$: $P=F_1+F_2=279+621=900$ Н. То есть полный вес бревна равен сумме двух прикладываемых сил.
Масса: $m=\dfrac{P}{g}=\dfrac{900}{10}=90$ кг. Объём через плотность: $V=\dfrac{m}{\rho}=\dfrac{90}{450}=0{,}2$ м³.
Бревно — абсолютно твёрдое тело в равновесии, поэтому к нему применимы условия равновесия: сумма сил равна нулю и сумма моментов относительно любой оси равна нулю (правило моментов). При поднятии одного конца второй служит неподвижной осью, относительно неё и берём моменты. Поверхность гладкая (горизонтальные силы трения не вмешиваются в баланс вертикальных моментов), а вес считаем сосредоточенным в центре тяжести. Сложение двух условий устраняет неизвестное положение центра тяжести.
0,2