Задание 26 ЕГЭ по физике №00016089

Идея

Это «зеркало» классической задачи про сферу: тут уже известна скорость отрыва, а найти надо радиус. Снова работают два закона: закон сохранения энергии (сфера гладкая, трения нет) и второй закон Ньютона по нормали при движении по окружности. Момент отрыва — это когда реакция опоры $N=0$.

Шаг 1. Условие отрыва

В точке отрыва (угол $\alpha$ от вертикали) вдоль радиуса: $mg\cos\alpha-N=\dfrac{mv^2}{R}$. При $N=0$ получаем $v^2=gR\cos\alpha$.

Шаг 2. Закон сохранения энергии

Спуск на высоту $h=R(1-\cos\alpha)$: $mgR(1-\cos\alpha)=\dfrac{mv^2}{2}$. Подставив $v^2=gR\cos\alpha$, как и в прямой задаче, получаем $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$. То есть отрыв всегда происходит на одной и той же «широте», независимо от радиуса.

Шаг 3. Выражаем радиус

Из $v^2=gR\cos\alpha$ при $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$: $R=\dfrac{v^2}{g\cos\alpha}=\dfrac{3v^2}{2g}=\dfrac{3\cdot4^2}{2\cdot10}=\dfrac{48}{20}=2{,}4$ м.

Обоснование

Тело — материальная точка (оно маленькое), поэтому его положение на сфере определено и применимы законы для точки. Поверхность абсолютно гладкая: трения нет, механическая энергия сохраняется. До отрыва тело движется по окружности радиуса $R$, поэтому правомерен второй закон Ньютона в проекции на нормаль с центростремительным ускорением $v^2/R$. Условие отрыва $N=0$ задаёт момент, когда сфера перестаёт удерживать тело.