ID: 00016089
На горизонтальной поверхности неподвижно закреплена абсолютно гладкая полусфера. С её верхней точки из состояния покоя соскальзывает маленькое тело. В некоторой точке тело отрывается от сферы и летит свободно. Найдите радиус сферы, если в момент отрыва тело имело скорость v=4 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Источник: ФИПИ
Это «зеркало» классической задачи про сферу: тут уже известна скорость отрыва, а найти надо радиус. Снова работают два закона: закон сохранения энергии (сфера гладкая, трения нет) и второй закон Ньютона по нормали при движении по окружности. Момент отрыва — это когда реакция опоры N=0.
В точке отрыва (угол \alpha от вертикали) вдоль радиуса: mg\cos\alpha-N=\dfrac{mv^2}{R}. При N=0 получаем v^2=gR\cos\alpha.
Спуск на высоту h=R(1-\cos\alpha): mgR(1-\cos\alpha)=\dfrac{mv^2}{2}. Подставив v^2=gR\cos\alpha, как и в прямой задаче, получаем \cos\alpha=\dfrac{2}{3}. То есть отрыв всегда происходит на одной и той же «широте», независимо от радиуса.
Из v^2=gR\cos\alpha при \cos\alpha=\dfrac{2}{3}: R=\dfrac{v^2}{g\cos\alpha}=\dfrac{3v^2}{2g}=\dfrac{3\cdot4^2}{2\cdot10}=\dfrac{48}{20}=2{,}4 м.
Тело — материальная точка (оно маленькое), поэтому его положение на сфере определено и применимы законы для точки. Поверхность абсолютно гладкая: трения нет, механическая энергия сохраняется. До отрыва тело движется по окружности радиуса R, поэтому правомерен второй закон Ньютона в проекции на нормаль с центростремительным ускорением v^2/R. Условие отрыва N=0 задаёт момент, когда сфера перестаёт удерживать тело.
Ответ: 2,4 м.
2,4