Задание 26 ЕГЭ по физике №00016087

Идея

Тело скользит по гладкой сфере и в какой-то момент отрывается. Главный вопрос: что значит «отрыв»? Пока тело прижато к сфере, она давит на него реакцией $N$. В момент отрыва прижимать уже нечем — $N=0$. Значит работают сразу две вещи: закон сохранения энергии (поверхность гладкая, трения нет) и второй закон Ньютона по нормали (движение по окружности требует центростремительного ускорения).

Шаг 1. Условие отрыва ($N=0$)

Пусть в точке отрыва радиус-вектор тела составляет угол $\alpha$ с вертикалью. Вдоль радиуса (к центру) действуют проекция тяжести $mg\cos\alpha$ и реакция $N$. Это и есть центростремительная сила: $mg\cos\alpha-N=\dfrac{mv^2}{R}$. В момент отрыва $N=0$, поэтому $mg\cos\alpha=\dfrac{mv^2}{R}$, откуда $v^2=gR\cos\alpha$.

Шаг 2. Закон сохранения энергии

От верхушки тело опустилось на высоту $h=R-R\cos\alpha=R(1-\cos\alpha)$. Начальная скорость нулевая, трения нет: $mgR(1-\cos\alpha)=\dfrac{mv^2}{2}$. Подставим сюда $v^2=gR\cos\alpha$: $gR(1-\cos\alpha)=\dfrac{gR\cos\alpha}{2}$, то есть $2-2\cos\alpha=\cos\alpha$, значит $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$.

Шаг 3. Считаем скорость

$v=\sqrt{gR\cos\alpha}=\sqrt{10\cdot2{,}5\cdot\dfrac{2}{3}}=\sqrt{16{,}7}\approx4{,}1$ м/с.

Обоснование

Тело считаем материальной точкой (оно «маленькое»), поэтому можно говорить о его положении на сфере и применять законы для точки. Поверхность абсолютно гладкая — силы трения нет, поэтому механическая энергия сохраняется. До момента отрыва тело движется по окружности радиуса $R$, значит к нему применим второй закон Ньютона в проекции на нормаль с центростремительным ускорением $v^2/R$. Момент отрыва строго определяется условием $N=0$: дальше сфера тело удержать не может.