ID: 00016086
Небольшое тело бросили под углом \alpha=30^\circ к горизонтальной плоскости с начальной скоростью V_0=40 м/с. В верхней точке траектории в него попало другое тело такой же массы, брошенное с той же плоскости вертикально вверх с начальной скоростью u_0=25 м/с, и оба тела в результате абсолютно неупругого удара слиплись и полетели дальше вместе (см. рисунок). На каком расстоянии l от места броска второго тела упадёт слипшееся тело?
Источник: ФИПИ
Оба тела — материальные точки, сопротивление воздуха не учитываем, поэтому до и после столкновения каждое движется в поле тяжести с ускорением g. Столкновение абсолютно неупругое и мгновенное: за время удара тяжесть импульс почти не меняет, поэтому в момент удара сохраняется вектор импульса системы (и горизонтальная, и вертикальная проекции). Высоту точки удара (верхняя точка траектории первого тела) и скорость второго тела там находим из законов кинематики и сохранения энергии.
Находим скорости обоих тел в точке удара, по закону сохранения импульса — общую скорость слипшегося тела, затем как обычный брошенный снаряд досчитываем, где оно упадёт.
В верхней точке вертикальная скорость 0, остаётся горизонтальная \upsilon_x=V_0\cos\alpha=40\cdot\cos30^\circ=20\sqrt3\approx34{,}6 м/с. Высота этой точки H_1=\dfrac{(V_0\sin\alpha)^2}{2g}=\dfrac{20^2}{2\cdot10}=20 м.
Оно летит вертикально; на высоте 20 м его скорость (вверх) по энергии: u=\sqrt{u_0^2-2gH_1}=\sqrt{25^2-2\cdot10\cdot20}=\sqrt{225}=15 м/с.
V_x=\dfrac{\upsilon_x}{2}=10\sqrt3\approx17{,}3 м/с; V_y=\dfrac{u}{2}=7{,}5 м/с (вверх).
С высоты 20 м со скоростью (V_x;V_y): время до земли из 20+V_y t-\tfrac{g}{2}t^2=0 даёт t\approx2{,}89 с. Горизонтальный путь от места броска второго тела (оно стартовало точно под верхней точкой) l=V_x t=10\sqrt3\cdot2{,}89\approx50 м.
Ответ: 50 м.
50