ID: 00016084
Струя воды круглого сечения радиусом $r_0=1$ см начинает бить из шланга вверх со скоростью $\upsilon_0=20$ м/с. Найдите радиус струи $r$ на высоте $h=16$ м по вертикали от конца шланга. Трением и силами поверхностного натяжения пренебречь, считать скорость движения частиц воды по вертикали в любом поперечном сечении струи одинаковой для данного сечения, а сами частицы — находящимися в состоянии свободного падения. Ответ дайте в сантиметрах, округлите до десятых.
Источник: ФИПИ
Частицы воды считаем находящимися в свободном падении (трение и поверхностное натяжение по условию отброшены), поэтому к их вертикальному движению применим закон сохранения энергии: скорость падает с высотой по тому же закону, что у тела, брошенного вверх. Вода несжимаема, и в установившейся струе сколько воды проходит через нижнее сечение в секунду, столько же проходит через любое верхнее — это уравнение неразрывности (постоянство расхода).
Скорость воды на высоте $h$ берём из кинематики свободного падения, а радиус — из условия постоянства расхода $S\upsilon=\text{const}$.
$\upsilon^2=\upsilon_0^2-2gh=20^2-2\cdot10\cdot16=400-320=80$, значит $\upsilon=\sqrt{80}\approx8{,}94$ м/с.
$\pi r_0^2\,\upsilon_0=\pi r^2\,\upsilon$, откуда $r=r_0\sqrt{\dfrac{\upsilon_0}{\upsilon}}$.
$r=1\cdot\sqrt{\dfrac{20}{8{,}94}}=1\cdot\sqrt{2{,}24}\approx1{,}5$ см. Струя сужается кверху, потому что вода замедляется, а расход постоянен.
1,5