Задание 26 ЕГЭ по физике №00016080

Обоснование

Грузы — материальные точки, нить лёгкая и нерастяжимая, поэтому модули скоростей и перемещений $m$ (по сфере) и $M$ (вертикально) одинаковы. Сфера закреплена и гладкая — трения нет, значит сохраняется полная механическая энергия системы. Натяжение нити направлено по касательной к сфере, у него нет радиальной составляющей, поэтому в уравнении движения $m$ по окружности по радиусу участвуют только тяжесть и реакция опоры. Отрыв — момент, когда опора перестаёт давить: $N=0$.

Идея

Связываем условие отрыва ($N=0$) с законом сохранения энергии. В обоих уравнениях фигурирует общая скорость $v$ — это даёт уравнение на массу $m$.

Шаг 1. Условие отрыва $m$

$m$ движется по дуге сферы радиуса $R$. По радиусу при $N=0$: $mg\cos\varphi=\dfrac{mv^2}{R}$, где $\varphi=30^\circ$ — пройденная дуга от вершины. Значит $v^2=gR\cos\varphi$.

Шаг 2. Закон сохранения энергии

$m$ опустился на $R(1-\cos\varphi)$, а $M$ за счёт нити опустился на длину дуги $R\varphi$: $mgR(1-\cos\varphi)+MgR\varphi=\tfrac12(m+M)v^2$.

Шаг 3. Считаем

Подставляя $v^2=gR\cos\varphi$ и сокращая $gR$: $m(1-\cos\varphi)+M\varphi=\tfrac12(m+M)\cos\varphi$. При $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$ ($\cos\varphi=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866$, $\varphi\approx0{,}524$): отсюда $m=M\cdot\dfrac{0{,}5\cos\varphi-\varphi}{1-1{,}5\cos\varphi}\approx0{,}1\cdot\dfrac{-0{,}091}{-0{,}299}\approx0{,}030$ кг $=30$ г.