ID: 00016079
К одному концу лёгкой пружины жёсткостью k=100 Н/м прикреплён груз массой m=1 кг, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости \mu=0{,}2. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину на величину d, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Найдите максимальное значение d, при котором груз, начав движение, после остановки больше не сдвинется с места. Ответ дайте в сантиметрах.
Источник: ФИПИ
Груз — материальная точка, пружина лёгкая (её массой пренебрегаем). На горизонтальной плоскости действует сухое трение скольжения, его работа отрицательна и равна A_{\text{тр}}=-\mu mg\cdot s на пройденном пути s. Применяем закон изменения механической энергии: убыль энергии пружины идёт на работу против трения. Условие «груз больше не сдвинется» — когда сила упругости в точке остановки не превосходит максимальную силу покоя: kx \le \mu mg.
Груз отпустили с растяжением d; он проедет к стенке, проскочит положение равновесия и остановится при некотором сжатии x. Чтобы он остался на месте (двигался только «в одну сторону»), нужно kx\le\mu mg. Максимальное d — когда x ровно равно границе.
Минимальное сжатие, при котором груз ещё держится: x=\dfrac{\mu mg}{k}=\dfrac{0{,}2\cdot1\cdot10}{100}=0{,}02 м.
От старта (растяжение d) до остановки (сжатие x), путь =d+x: \dfrac{kd^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}+\mu mg(d+x).
Подставив x=0{,}02 м: 50d^2 = 50\cdot0{,}0004 + 2\cdot(d+0{,}02), то есть 50d^2 - 2d - 0{,}06=0. Положительный корень d=0{,}06 м =6 см.
Ответ: 6 см.
6