ID: 00016079
К одному концу лёгкой пружины жёсткостью $k=100$ Н/м прикреплён груз массой $m=1$ кг, лежащий на горизонтальной плоскости, другой конец пружины закреплён неподвижно (см. рисунок). Коэффициент трения груза по плоскости $\mu=0{,}2$. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину на величину $d$, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Найдите максимальное значение $d$, при котором груз, начав движение, после остановки больше не сдвинется с места. Ответ дайте в сантиметрах.
Источник: ФИПИ
Груз — материальная точка, пружина лёгкая (её массой пренебрегаем). На горизонтальной плоскости действует сухое трение скольжения, его работа отрицательна и равна $A_{\text{тр}}=-\mu mg\cdot s$ на пройденном пути $s$. Применяем закон изменения механической энергии: убыль энергии пружины идёт на работу против трения. Условие «груз больше не сдвинется» — когда сила упругости в точке остановки не превосходит максимальную силу покоя: $kx \le \mu mg$.
Груз отпустили с растяжением $d$; он проедет к стенке, проскочит положение равновесия и остановится при некотором сжатии $x$. Чтобы он остался на месте (двигался только «в одну сторону»), нужно $kx\le\mu mg$. Максимальное $d$ — когда $x$ ровно равно границе.
Минимальное сжатие, при котором груз ещё держится: $x=\dfrac{\mu mg}{k}=\dfrac{0{,}2\cdot1\cdot10}{100}=0{,}02$ м.
От старта (растяжение $d$) до остановки (сжатие $x$), путь $=d+x$: $\dfrac{kd^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}+\mu mg(d+x)$.
Подставив $x=0{,}02$ м: $50d^2 = 50\cdot0{,}0004 + 2\cdot(d+0{,}02)$, то есть $50d^2 - 2d - 0{,}06=0$. Положительный корень $d=0{,}06$ м $=6$ см.
6