ID: 00016078
На горизонтальном столе закреплена половина цилиндра радиусом $R=40$ см, в наивысшей точке которого покоится маленький груз. Ось цилиндра $O$ перпендикулярна плоскости рисунка. Какую начальную скорость $v_0$, направленную горизонтально в плоскости рисунка, нужно сообщить этому грузу, чтобы он оторвался от поверхности полуцилиндра в точке, находящейся на высоте $0{,}75R$ над столом? Трение отсутствует. Обоснуйте применяемые законы (см. рисунок).
Источник: ФИПИ
Поверхность полуцилиндра гладкая — трения нет, поэтому полная механическая энергия груза сохраняется. Груз считаем материальной точкой. Пока груз скользит по выпуклой поверхности, он движется по окружности радиуса $R$, и роль центростремительной силы играет разность $mg\cos\varphi - N$. Отрыв — это момент, когда опора перестаёт давить: реакция $N=0$. Именно из этого условия находим скорость в точке отрыва.
Связываем два уравнения: условие отрыва ($N=0$) даёт скорость в точке отрыва, а закон сохранения энергии связывает её с начальной скоростью $v_0$ на вершине.
Высота точки отрыва над столом $0{,}75R$, а центр (ось $O$) лежит на уровне стола, поэтому если $\varphi$ — угол от вертикали, то высота $=R\cos\varphi=0{,}75R$, то есть $\cos\varphi=0{,}75$.
Второй закон Ньютона вдоль радиуса при $N=0$: $mg\cos\varphi = \dfrac{mv^2}{R}$, откуда $v^2=gR\cos\varphi=10\cdot0{,}4\cdot0{,}75=3$ м$^2$/с$^2$.
От вершины (высота $R$) до точки отрыва (высота $0{,}75R$): $\tfrac12 v_0^2 + gR = \tfrac12 v^2 + g\cdot0{,}75R$. Отсюда $v_0^2 = v^2 - 2g\cdot0{,}25R = 3 - 2\cdot10\cdot0{,}1 = 1$, значит $v_0=1$ м/с.
1