Задание 26 ЕГЭ по физике №00016074

Это та же схема «падение в жёлоб → выход в горизонт → сжатие пружины», но теперь известна деформация пружины, а искать нужно исходную высоту $h$. Значит, идём в обратном порядке: сначала достаём скорость тела из пружины, а потом уже поднимаемся к высоте.

Скорость тела перед пружиной. Вся кинетическая энергия тела на выходе из жёлоба перешла в энергию сжатой пружины: $$\dfrac{mu^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}\ \Rightarrow\ u^2=\dfrac{kx^2}{m}=\dfrac{100\cdot0{,}1^2}{0{,}05}=20\ \text{м}^2/\text{с}^2,\qquad u\approx4{,}47\ \text{м/с}.$$

Скорость подставки. В жёлобе трения нет, горизонтальный импульс системы «тело+подставка» сохраняется и был нулевым до падения: $$mu+MW=0\ \Rightarrow\ W=\dfrac{m}{M}u=\dfrac{0{,}05}{0{,}5}\cdot4{,}47\approx0{,}447\ \text{м/с}.$$

Возвращаемся к высоте через энергию. В жёлобе (он гладкий) энергия тоже сохраняется: потенциальная энергия падения переходит в кинетическую энергию обоих тел: $$\dfrac{mv^2}{2}+mgR=\dfrac{mu^2}{2}+\dfrac{MW^2}{2},$$ где $v^2=2g(h-R)=2\cdot10\cdot\dfrac{h}{2}=10h$ (так как $R=h/2$). Правая часть с уже известными $u$ и $W$: $\dfrac{0{,}05\cdot20}{2}+\dfrac{0{,}5\cdot0{,}447^2}{2}\approx0{,}5+0{,}05=0{,}55$ Дж. Левая часть: $$\dfrac{m\cdot10h}{2}+mg\cdot\dfrac{h}{2}=0{,}25h+0{,}25h=0{,}5h.$$ Приравниваем: $0{,}5h=0{,}55$, откуда $h=1{,}1$ м.