ID: 00016071
На горизонтальной шероховатой плоскости (коэффициент трения равен $\mu$) покоятся два одинаковых груза массой $m$ на расстоянии $L$ друг от друга, один из которых соединён со стенкой лёгкой нерастянутой горизонтальной пружиной жёсткостью $k$ (см. рисунок). Левому грузу сообщили в некоторый момент начальную скорость $V_0$ в направлении правого, после чего грузы испытали абсолютно упругое лобовое столкновение. На какое расстояние максимально сожмётся пружина?
Источник: ФИПИ
Грузы — материальные точки. Поверхность шероховатая, поэтому при движении действует трение скольжения $\mu m g$ и работает теорема об изменении кинетической энергии (трение «съедает» энергию). Удар абсолютно упругий и лобовой, грузы одинаковой массы — значит при ударе они просто обмениваются скоростями (импульс и энергия сохраняются). Пружина лёгкая и подчиняется закону Гука $F=k\Delta x$.
Левый груз проходит расстояние $L$ с трением и подлетает к правому с меньшей скоростью. После упругого удара равных масс правый груз (связанный с пружиной) получает эту скорость и начинает сжимать пружину, преодолевая трение. Из энергии найдём максимальное сжатие.
$\upsilon^2=V_0^2-2\mu g L$ (теорема о кинетической энергии на пути $L$).
Упругий удар равных масс: левый груз останавливается, правый уезжает со скоростью $\upsilon$.
На максимальном сжатии $x$ правый груз остановится: $\dfrac{m\upsilon^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}+\mu m g\,x$. Это квадратное уравнение относительно $x$; беря положительный корень, $x=\dfrac{\sqrt{(\mu m g)^2+km\,\upsilon^2}-\mu m g}{k}$, где $\upsilon^2=V_0^2-2\mu gL$.
$x=\dfrac{\sqrt{(\mu m g)^2+km(V_0^2-2\mu gL)}-\mu m g}{k}$