ID: 00016071
На горизонтальной шероховатой плоскости (коэффициент трения равен \mu) покоятся два одинаковых груза массой m на расстоянии L друг от друга, один из которых соединён со стенкой лёгкой нерастянутой горизонтальной пружиной жёсткостью k (см. рисунок). Левому грузу сообщили в некоторый момент начальную скорость V_0 в направлении правого, после чего грузы испытали абсолютно упругое лобовое столкновение. На какое расстояние максимально сожмётся пружина?
Источник: ФИПИ
Грузы — материальные точки. Поверхность шероховатая, поэтому при движении действует трение скольжения \mu m g и работает теорема об изменении кинетической энергии (трение «съедает» энергию). Удар абсолютно упругий и лобовой, грузы одинаковой массы — значит при ударе они просто обмениваются скоростями (импульс и энергия сохраняются). Пружина лёгкая и подчиняется закону Гука F=k\Delta x.
Левый груз проходит расстояние L с трением и подлетает к правому с меньшей скоростью. После упругого удара равных масс правый груз (связанный с пружиной) получает эту скорость и начинает сжимать пружину, преодолевая трение. Из энергии найдём максимальное сжатие.
\upsilon^2=V_0^2-2\mu g L (теорема о кинетической энергии на пути L).
Упругий удар равных масс: левый груз останавливается, правый уезжает со скоростью \upsilon.
На максимальном сжатии x правый груз остановится: \dfrac{m\upsilon^2}{2}=\dfrac{kx^2}{2}+\mu m g\,x. Это квадратное уравнение относительно x; беря положительный корень, x=\dfrac{\sqrt{(\mu m g)^2+km\,\upsilon^2}-\mu m g}{k}, где \upsilon^2=V_0^2-2\mu gL.
Ответ: x=\dfrac{\sqrt{(\mu m g)^2+km(V_0^2-2\mu gL)}-\mu m g}{k}.
x=\dfrac{\sqrt{(\mu m g)^2+km(V_0^2-2\mu gL)}-\mu m g}{k}