ID: 00016065
К верхнему концу тонкого вертикального вала, установленного на неподвижном столе, на невесомой нерастяжимой нити длиной $l=20$ см подвешен маленький грузик массой $m=10$ г. Вал с грузиком на нити можно вращать вокруг вертикальной оси при помощи электропривода. Вал медленно раскрутили до угловой скорости $\omega=10$ с$^{-1}$. Какую кинетическую энергию приобрёл грузик к концу раскрутки системы?
Источник: ФИПИ
Грузик — материальная точка. Нить невесома и нерастяжима, поэтому держит постоянную длину $l$. После окончания раскрутки грузик движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью $\omega$ — это установившееся вращение конического маятника, поэтому ускорение у него только центростремительное, направлено к оси. Систему рассматриваем в инерциальной системе отсчёта.
Нить отклоняется от вертикали на угол $\theta$. Запишем второй закон Ньютона: вертикаль держит вес, горизонталь даёт центростремительную силу. Из этих двух уравнений найдём угол, радиус и скорость, а затем кинетическую энергию.
Вертикаль: $T\cos\theta=mg$. Горизонталь: $T\sin\theta=m\omega^2 r$, где $r=l\sin\theta$. Делим и упрощаем: $\cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2 l}=\dfrac{10}{100\cdot0{,}2}=0{,}5$, то есть $\theta=60^\circ$.
Радиус $r=l\sin\theta=0{,}2\cdot0{,}866=0{,}173$ м. Линейная скорость $v=\omega r=10\cdot0{,}173=1{,}73$ м/с. Тогда $E_к=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{0{,}01\cdot1{,}73^2}{2}\approx0{,}015$ Дж.
0,015