ID: 00016065
К верхнему концу тонкого вертикального вала, установленного на неподвижном столе, на невесомой нерастяжимой нити длиной l=20 см подвешен маленький грузик массой m=10 г. Вал с грузиком на нити можно вращать вокруг вертикальной оси при помощи электропривода. Вал медленно раскрутили до угловой скорости \omega=10 с^{-1}. Какую кинетическую энергию приобрёл грузик к концу раскрутки системы?
Источник: ФИПИ
Грузик — материальная точка. Нить невесома и нерастяжима, поэтому держит постоянную длину l. После окончания раскрутки грузик движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью \omega — это установившееся вращение конического маятника, поэтому ускорение у него только центростремительное, направлено к оси. Систему рассматриваем в инерциальной системе отсчёта.
Нить отклоняется от вертикали на угол \theta. Запишем второй закон Ньютона: вертикаль держит вес, горизонталь даёт центростремительную силу. Из этих двух уравнений найдём угол, радиус и скорость, а затем кинетическую энергию.
Вертикаль: T\cos\theta=mg. Горизонталь: T\sin\theta=m\omega^2 r, где r=l\sin\theta. Делим и упрощаем: \cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2 l}=\dfrac{10}{100\cdot0{,}2}=0{,}5, то есть \theta=60^\circ.
Радиус r=l\sin\theta=0{,}2\cdot0{,}866=0{,}173 м. Линейная скорость v=\omega r=10\cdot0{,}173=1{,}73 м/с. Тогда E_к=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{0{,}01\cdot1{,}73^2}{2}\approx0{,}015 Дж.
Ответ: 0,015 Дж.
0,015