Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00016062

Идея

Груз лежит на вращающемся диске и привязан пружиной к центру. Чтобы он вращался вместе с диском, его кто-то должен удерживать к центру — центростремительная сила. На малом радиусе она маленькая, но пружина при $r\lt L_0$ сжата и, наоборот, толкает груз наружу. Значит трение должно и удержать груз от соскальзывания наружу, и побороть толкающую наружу пружину. Минимальный радиус — там, где трения уже впритык хватает (оно максимально и направлено к центру).

Обоснование

Груз — материальная точка, движется по окружности с диском $\Rightarrow$ его ускорение центростремительное $a=\omega^2 r$, направлено к центру. По вертикали реакция $N=mg$, поэтому максимальное трение покоя $f_{\max}=\mu mg$. На малом радиусе ($r\lt L_0$) пружина сжата и давит наружу с силой $k(L_0-r)$. Применяем второй закон Ньютона в проекции на радиус (к центру — положительно): сумма радиальных сил равна $m\omega^2 r$.

Минимальный радиус

$\omega=2\pi\nu=2\pi\cdot0{,}5=\pi\approx3{,}14$ рад/с, $\omega^2\approx9{,}87$ рад²/с². На минимальном радиусе трение максимально и направлено к центру, пружина (сжата) толкает наружу: $$m\omega^2 r=\mu mg-k(L_0-r).$$ Отсюда $$r=\frac{\mu mg-kL_0}{m\omega^2-k}=\frac{0{,}5\cdot1\cdot10-30\cdot0{,}3}{1\cdot9{,}87-30}=\frac{5-9}{9{,}87-30}=\frac{-4}{-20{,}13}\approx0{,}20\ \text{м}.$$