ID: 00016062
Имеется недеформированная пружина длиной L_0=30 см и жёсткостью k=30 Н/м, груз массой m=1 кг, а также вращающийся с частотой \nu=0{,}5 Гц массивный диск. На каком минимальном расстоянии от центра диска можно положить на него груз, прикрепив его пружиной к центру диска, чтобы груз оставался неподвижным относительно диска? Коэффициент трения между грузом и диском \mu=0{,}5. Размерами груза пренебречь.
Источник: ФИПИ
Груз лежит на вращающемся диске и привязан пружиной к центру. Чтобы он вращался вместе с диском, его кто-то должен удерживать к центру — центростремительная сила. На малом радиусе она маленькая, но пружина при r\lt L_0 сжата и, наоборот, толкает груз наружу. Значит трение должно и удержать груз от соскальзывания наружу, и побороть толкающую наружу пружину. Минимальный радиус — там, где трения уже впритык хватает (оно максимально и направлено к центру).
Груз — материальная точка, движется по окружности с диском \Rightarrow его ускорение центростремительное a=\omega^2 r, направлено к центру. По вертикали реакция N=mg, поэтому максимальное трение покоя f_{\max}=\mu mg. На малом радиусе (r\lt L_0) пружина сжата и давит наружу с силой k(L_0-r). Применяем второй закон Ньютона в проекции на радиус (к центру — положительно): сумма радиальных сил равна m\omega^2 r.
\omega=2\pi\nu=2\pi\cdot0{,}5=\pi\approx3{,}14 рад/с, \omega^2\approx9{,}87 рад²/с². На минимальном радиусе трение максимально и направлено к центру, пружина (сжата) толкает наружу: m\omega^2 r=\mu mg-k(L_0-r). Отсюда r=\frac{\mu mg-kL_0}{m\omega^2-k}=\frac{0{,}5\cdot1\cdot10-30\cdot0{,}3}{1\cdot9{,}87-30}=\frac{5-9}{9{,}87-30}=\frac{-4}{-20{,}13}\approx0{,}20\ \text{м}.
Ответ: 0,2 м.
0,2