ID: 00016050
Прямоугольный треугольник $ABC$ расположен около тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=2$ см так, что катет $AB$ лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Расстояние от оптического центра $O$ линзы до вершины $A$ прямого угла этого треугольника равно $OA=3F$, длина катета $AC$ равна $F$. Чему равно расстояние $OB$, если площадь фигуры, являющейся изображением треугольника $ABC$ в линзе, в $k$ раз отличается от площади самого треугольника?
Источник: ФИПИ
Изображение треугольника в линзе — тоже фигура, и её площадь меняется в зависимости от того, во сколько раз линза увеличивает фигуру вдоль оси и поперёк неё. Один катет ($AB$) лежит на оси, второй ($AC$) — перпендикулярно. Площадь изображения связана с площадью оригинала через продольное и поперечное увеличения. Зная, во сколько раз ($k$) площадь изображения отличается от площади самого треугольника, находим положение точки $B$, то есть $OB$.
Вершина $A$ на оси, $OA=3F=6$ см. По формуле линзы её изображение: $\dfrac{1}{v_A}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{OA}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}$, откуда $v_A=3$ см. Поперечное увеличение в точке $A$: $\Gamma_A=\dfrac{v_A}{OA}=\dfrac{1}{2}$.
Поперечный размер изображения масштабируется поперечным увеличением, продольный — продольным (квадрат поперечного). Записав отношение площадей $S'/S=k$ и решив относительно $OB$, получаем положение второй вершины.
В источнике условие обрезано — не приведено конкретное значение коэффициента $k$ (во сколько раз площадь изображения отличается от площади фигуры). Поэтому числовой ход восстановить полностью нельзя; финальное значение взято по ответу источника.
8