ID: 00016050
Прямоугольный треугольник ABC расположен около тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F=2 см так, что катет AB лежит на главной оптической оси линзы (см. рисунок). Расстояние от оптического центра O линзы до вершины A прямого угла этого треугольника равно OA=3F, длина катета AC равна F. Чему равно расстояние OB, если площадь фигуры, являющейся изображением треугольника ABC в линзе, в k раз отличается от площади самого треугольника?
Источник: ФИПИ
Изображение треугольника в линзе — тоже фигура, и её площадь меняется в зависимости от того, во сколько раз линза увеличивает фигуру вдоль оси и поперёк неё. Один катет (AB) лежит на оси, второй (AC) — перпендикулярно. Площадь изображения связана с площадью оригинала через продольное и поперечное увеличения. Зная, во сколько раз (k) площадь изображения отличается от площади самого треугольника, находим положение точки B, то есть OB.
Вершина A на оси, OA=3F=6 см. По формуле линзы её изображение: \dfrac{1}{v_A}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{OA}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}, откуда v_A=3 см. Поперечное увеличение в точке A: \Gamma_A=\dfrac{v_A}{OA}=\dfrac{1}{2}.
Поперечный размер изображения масштабируется поперечным увеличением, продольный — продольным (квадрат поперечного). Записав отношение площадей S'/S=k и решив относительно OB, получаем положение второй вершины.
В источнике условие обрезано — не приведено конкретное значение коэффициента k (во сколько раз площадь изображения отличается от площади фигуры). Поэтому числовой ход восстановить полностью нельзя; финальное значение взято по ответу источника.
Ответ: OB = 8 см (значение из источника ФИПИ).
8