Шарик подвешен на нити и совершает колебания. Его крайние точки, A и B , лежат на оптической оси собирающей линзы силой D равно 50 дптр. Проекция точки равновесия шарика находится на расстоянии корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента см от первого фокуса линзы. Расстояние от неё до крайних точек равно 1 см. Найдите расстояние между изображениями крайних точек A и B в собирающей линзе. Ответ дайте в сантиметрах.

Задание 25 ЕГЭ по физике: Шарик подвешен на нити и совершает колебания. Его крайние точки,…

№2. Задание 25

ID: 00016033

Шарик подвешен на нити и совершает колебания. Его крайние точки, $A$ и $B$ , лежат на оптической оси собирающей линзы силой $D=50$ дптр. Проекция точки равновесия шарика находится на расстоянии $\sqrt5$ см от первого фокуса линзы. Расстояние от неё до крайних точек равно $1$ см. Найдите расстояние между изображениями крайних точек $A$ и $B$ в собирающей линзе. Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: ФИПИ

Решение

Идея

Шарик колеблется вдоль оптической оси: его крайние точки $A$ и $B$ лежат на оси, по одному сантиметру от положения равновесия. Линза строит изображение каждой точки тоже на оси. Удобнее всего работать формулой Ньютона $x\,x'=F^2$ , где $x$ — расстояние от предмета до переднего фокуса, $x'$ — от изображения до заднего фокуса. Найдём изображения точек $A$ и $B$ и расстояние между ними.

Шаг 1. Данные

$D=50$ дптр $\Rightarrow F=\dfrac{1}{50}=0{,}02$ м $=2$ см, $F^2=4\ \text{см}^2$ . Равновесие на $\sqrt5$ см от фокуса, точки $A$ и $B$ на $1$ см ближе и дальше: $x_A=\sqrt5-1$ см, $x_B=\sqrt5+1$ см.

Шаг 2. Изображения по формуле Ньютона

$x'=\dfrac{F^2}{x}$ . Тогда $x'_A=\dfrac{4}{\sqrt5-1}=\sqrt5+1$ см, $x'_B=\dfrac{4}{\sqrt5+1}=\sqrt5-1$ см (множители-сопряжённые дают $(\sqrt5)^2-1=4=F^2$ — числа подобраны красиво).

Шаг 3. Расстояние между изображениями

Оба изображения на оси, поэтому расстояние $=x'_A-x'_B=(\sqrt5+1)-(\sqrt5-1)=2$ см.

Ответ: $2$ см.