ID: 00016033
Шарик подвешен на нити и совершает колебания. Его крайние точки, $A$ и $B$, лежат на оптической оси собирающей линзы силой $D=50$ дптр. Проекция точки равновесия шарика находится на расстоянии $\sqrt5$ см от первого фокуса линзы. Расстояние от неё до крайних точек равно $1$ см. Найдите расстояние между изображениями крайних точек $A$ и $B$ в собирающей линзе. Ответ дайте в сантиметрах.
Источник: ФИПИ
Шарик колеблется вдоль оптической оси: его крайние точки $A$ и $B$ лежат на оси, по одному сантиметру от положения равновесия. Линза строит изображение каждой точки тоже на оси. Удобнее всего работать формулой Ньютона $x\,x'=F^2$, где $x$ — расстояние от предмета до переднего фокуса, $x'$ — от изображения до заднего фокуса. Найдём изображения точек $A$ и $B$ и расстояние между ними.
$D=50$ дптр $\Rightarrow F=\dfrac{1}{50}=0{,}02$ м $=2$ см, $F^2=4\ \text{см}^2$. Равновесие на $\sqrt5$ см от фокуса, точки $A$ и $B$ на $1$ см ближе и дальше: $x_A=\sqrt5-1$ см, $x_B=\sqrt5+1$ см.
$x'=\dfrac{F^2}{x}$. Тогда $x'_A=\dfrac{4}{\sqrt5-1}=\sqrt5+1$ см, $x'_B=\dfrac{4}{\sqrt5+1}=\sqrt5-1$ см (множители-сопряжённые дают $(\sqrt5)^2-1=4=F^2$ — числа подобраны красиво).
Оба изображения на оси, поэтому расстояние $=x'_A-x'_B=(\sqrt5+1)-(\sqrt5-1)=2$ см.
2