ID: 00016032
Точечный источник света $S$ расположен на главной оптической оси рассеивающей линзы в её фокусе. Оптическая сила линзы $D=-4$ дптр (см. рисунок). На какое расстояние сместится изображение источника, если линзу повернуть на угол $\alpha=30^\circ$ относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через оптический центр линзы? Ответ дайте в сантиметрах, округлите до десятых.
Источник: ФИПИ
Источник стоит на оси рассеивающей линзы в её фокусе. Сначала найдём, где линза строит его изображение. Потом повернём линзу на $30^\circ$ вокруг её оптического центра — центр на месте, а вот оптическая ось поворачивается, и источник для неё становится боковой точкой. Ключевой приём: луч, идущий через оптический центр, не преломляется, значит изображение всегда лежит на прямой «источник — центр». А эта прямая (старая ось) при повороте линзы не двигается! Поэтому изображение остаётся на старой оси и лишь чуть отъезжает от линзы.
$|F|=\dfrac{1}{|D|}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ м. Источник в фокусе: $s=F$. Для рассеивающей линзы мнимое изображение на расстоянии $\rho_0=\dfrac{F}{2}=0{,}125$ м от линзы (на той же стороне, на оси).
Источник остаётся на расстоянии $F$ от центра, но теперь под углом $\alpha$ к новой оси: вдоль оси $s'=F\cos\alpha$, поперёк $F\sin\alpha$. Расстояние от центра до изображения получается компактно: $\rho(\alpha)=\dfrac{F}{1+\cos\alpha}$, и оно по-прежнему лежит на старой оси (луч через центр не преломляется).
$\Delta=\rho(\alpha)-\rho_0=\dfrac{F}{1+\cos\alpha}-\dfrac{F}{2}=\dfrac{F}{2}\cdot\dfrac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{F}{2}\tan^2\dfrac{\alpha}{2}$. При $\alpha=30^\circ$: $\tan^215^\circ=0{,}0718$, $\Delta=0{,}125\cdot0{,}0718=0{,}00897$ м $\approx0{,}9$ см.
0,9