ID: 00016028
Небольшой груз, подвешенный на нити длиной $2{,}5$ м, совершает гармонические колебания, при которых его максимальная скорость достигает $0{,}1$ м/с. При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием $0{,}2$ м изображение колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии $0{,}6$ м от линзы. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскости экрана. Определите амплитуду колебаний изображения груза на экране. Ответ дайте в метрах. (Текст условия в источнике обрезан на слове «Определи…»; вопрос восстановлен по смыслу и числовым данным.)
Источник: ФИПИ
Маятник колеблется вдоль линии, перпендикулярной оптической оси, а линза строит его изображение на экране. Изображение колеблется по тому же закону, но его амплитуда в $\Gamma$ раз больше амплитуды самого груза (где $\Gamma$ — увеличение линзы). Значит нужно: найти амплитуду колебаний груза из кинематики, найти увеличение линзы из оптики и перемножить.
Для маятника $\omega=\sqrt{\dfrac{g}{L}}=\sqrt{\dfrac{10}{2{,}5}}=2$ рад/с. Максимальная скорость связана с амплитудой как $v_{max}=\omega A$, откуда $A=\dfrac{v_{max}}{\omega}=\dfrac{0{,}1}{2}=0{,}05$ м.
Изображение на экране: $v=0{,}6$ м, фокус $F=0{,}2$ м. Расстояние до предмета: $\dfrac{1}{u}=\dfrac{1}{F}-\dfrac{1}{v}=5-1{,}667=3{,}333\ \text{м}^{-1}$, $u=0{,}3$ м. Увеличение $\Gamma=\dfrac{v}{u}=\dfrac{0{,}6}{0{,}3}=2$.
$A_{изобр}=\Gamma\,A=2\cdot0{,}05=0{,}1$ м.
0,1