ID: 00016021
Вольтамперные характеристики газовых ламп Л1, Л2 и Л3 при достаточно больших токах хорошо описываются квадратичными зависимостями U_1=\alpha I^2, U_2=3\alpha I^2, U_3=6\alpha I^2, где \alpha — некоторая известная размерная константа. Лампы Л2 и Л3 соединили параллельно, а лампу Л1 — последовательно с ними (см. рисунок). Определите зависимость напряжения от силы тока, текущего через такой участок цепи.
Источник: ФИПИ
Лампы — нелинейные, но правила соединений работают как обычно. У параллельных элементов одинаковое напряжение, у последовательных одинаковый ток. Поэтому сначала разберёмся с парой Л2 \parallel Л3, а потом добавим к ним последовательно Л1.
На них напряжение одно и то же: U_{23}=3\alpha I_2^2=6\alpha I_3^2. Отсюда I_2^2=2I_3^2, то есть I_2=\sqrt{2}\,I_3. Через блок течёт весь ток цепи: I=I_2+I_3=(\sqrt{2}+1)I_3, значит I_3=\dfrac{I}{\sqrt{2}+1}=(\sqrt{2}-1)I.
U_{23}=6\alpha I_3^2=6\alpha(\sqrt{2}-1)^2 I^2=6\alpha(3-2\sqrt{2})I^2.
Через Л1 идёт весь ток I, поэтому U_1=\alpha I^2. Складываем напряжения последовательных участков:
U=U_1+U_{23}=\alpha I^2+6\alpha(3-2\sqrt{2})I^2=\big(1+18-12\sqrt{2}\big)\alpha I^2=(19-12\sqrt{2})\,\alpha I^2.
Численно 19-12\sqrt{2}\approx 2{,}03.
Ответ: U=(19-12\sqrt{2})\alpha I^2\approx 2{,}03\,\alpha I^2.
U=(19-12\sqrt{2})\,\alpha I^2\approx 2{,}03\,\alpha I^2