ID: 00015860
Воздушный шар объёмом $V = 2500$ м$^3$ с массой оболочки $m_{\text{об}} = 400$ кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. Какова максимальная масса груза $m_{\text{г}}$, который может поднять шар, если воздух в нём нагреть до температуры $t_1 = 77$ °C? Температура окружающего воздуха $t = 7$ °C, его плотность $\rho = 1{,}2$ кг/м$^3$. Оболочку шара считать нерастяжимой.
Источник: Сборник Гиголо
Это обратная задача: температуру нагрева задали, ищем самый тяжёлый груз. На пределе сила Архимеда равна весу оболочки, груза и горячего воздуха внутри. Давление внутри (через отверстие) равно атмосферному, поэтому $\rho_1 = \rho\,\dfrac{T}{T_1}$.
$T = 280$ К, $T_1 = 350$ К. $\rho_1 = \rho\,\dfrac{T}{T_1} = 1{,}2 \cdot \dfrac{280}{350} = 0{,}96$ кг/м$^3$.
$\rho V = m_{\text{об}} + m_{\text{г}} + \rho_1 V \;\Rightarrow\; m_{\text{г}} = (\rho - \rho_1)V - m_{\text{об}} = (1{,}2 - 0{,}96)\cdot 2500 - 400 = 200$ кг.