ID: 00015859
Воздушный шар объёмом $V = 2500$ м$^3$ с массой оболочки $m_{\text{об}} = 400$ кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой минимальной температуры $t_1$ нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой $m_{\text{г}} = 200$ кг? Температура окружающего воздуха $t = 7$ °C, его плотность $\rho = 1{,}2$ кг/м$^3$. Оболочку шара считать нерастяжимой.
Источник: Сборник Гиголо
Тепловой аэростат: воздух внутри нагрет и поэтому легче наружного (через отверстие давление внутри равно атмосферному). Шар взлетает, когда сила Архимеда сравняется с весом оболочки, груза и нагретого воздуха внутри. Так как давление внутри и снаружи одинаково, плотность обратно пропорциональна абсолютной температуре: $\rho_1 = \rho\,\dfrac{T}{T_1}$.
$\rho V = m_{\text{об}} + m_{\text{г}} + \rho_1 V$, откуда плотность горячего воздуха $\rho_1 = \rho - \dfrac{m_{\text{об}} + m_{\text{г}}}{V} = 1{,}2 - \dfrac{600}{2500} = 0{,}96$ кг/м$^3$.
Из $\rho_1 = \rho\,\dfrac{T}{T_1}$: $T_1 = \dfrac{\rho\,T}{\rho_1} = \dfrac{1{,}2 \cdot 280}{0{,}96} = 350$ К.