Идея

Влажный воздух — это смесь двух газов: сухого воздуха и водяного пара. По закону Дальтона их давления складываются. Сухой воздух при сжатии просто сжимается по Бойлю — Мариотту, а вот пар может упереться в потолок насыщения и частично выпасть. Ключевой подсказкой служит то, что давление выросло в n=3 раза, а объём уменьшили в k=4 раза: будь всё газом без потерь, давление выросло бы тоже в 4 раза. Раз выросло меньше — часть пара сконденсировалась.

Шаг 1. Давление насыщения при 100 °C

При t=100\,^\circ\text{C} вода кипит при нормальном атмосферном давлении, поэтому давление насыщенного пара p_0=10^{5} Па.

Шаг 2. Записываем давления по Дальтону

В начале: p_1=p_{1\text{сух}}+\varphi p_0, где \varphi p_0 — давление пара. После сжатия в k раз сухой воздух даёт k\,p_{1\text{сух}}, а пар стал насыщенным и даёт ровно p_0. Конечное давление p_2=n\,p_1=k\,p_{1\text{сух}}+p_0.

Шаг 3. Исключаем давление сухого воздуха

Из первого уравнения p_{1\text{сух}}=p_1-\varphi p_0. Подставляем во второе: n\,p_1=k(p_1-\varphi p_0)+p_0. Отсюда выражаем влажность:

\varphi=\dfrac{(k-n)\,p_1+p_0}{k\,p_0}=\dfrac{(4-3)\cdot1{,}4\cdot10^{5}+10^{5}}{4\cdot10^{5}}=\dfrac{2{,}4\cdot10^{5}}{4\cdot10^{5}}=0{,}6.

Проверка: при \varphi=0{,}6 давление сухого воздуха p_{1\text{сух}}=1{,}4\cdot10^{5}-0{,}6\cdot10^{5}=0{,}8\cdot10^{5}, и конечное p_2=4\cdot0{,}8\cdot10^{5}+10^{5}=4{,}2\cdot10^{5}=3\,p_1 — ровно в 3 раза, как в условии. Значит \varphi=60\,\%.

Ответ: 60 %