Задание 7 ЕГЭ по физике №00015770

Влажный воздух сжимают под поршнем при постоянной температуре, и часть пара превращается в воду. Нужно узнать, во сколько раз уменьшили объём.

Главная мысль: раз вода выпала, пар в конце насыщенный. Конденсация начинается только тогда, когда давление пара дорастает до давления насыщенного пара $p_{\text{н}}$, и после этого оно больше не растёт. Значит, в конце давление пара равно $p_{\text{н}}$, а в начале по условию было $0{,}4\,p_{\text{н}}$.

Шаг 1 — масса пара через давление и объём. Из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{M}RT$ при постоянной температуре масса пара пропорциональна произведению $pV$. Пусть начальный объём $V$, а конечный $\dfrac{V}{k}$, где $k$ — искомое число. Тогда $$m_0\sim0{,}4\,p_{\text{н}}\cdot V,\qquad m_1\sim p_{\text{н}}\cdot\dfrac{V}{k}.$$

Шаг 2 — какая часть пара осталась. Сконденсировалась $\dfrac{1}{6}$ исходного пара, значит, паром осталось $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$: $$\dfrac{m_1}{m_0}=\dfrac{5}{6}.$$

Шаг 3 — подставляем массы. Давление $p_{\text{н}}$ и объём $V$ сокращаются: $$\dfrac{m_1}{m_0}=\dfrac{1}{0{,}4\,k}=\dfrac{5}{6}\ \Rightarrow\ 0{,}4\,k=\dfrac{6}{5}=1{,}2\ \Rightarrow\ k=\dfrac{1{,}2}{0{,}4}=3.$$

Проверим себя. До насыщения пар дошёл, когда его давление выросло в $\dfrac{1}{0{,}4}=2{,}5$ раза, то есть при сжатии в $2{,}5$ раза. Дальше объём уменьшили ещё с $\dfrac{V}{2{,}5}$ до $\dfrac{V}{3}$, и доля оставшегося пара равна $\dfrac{V/3}{V/2{,}5}=\dfrac{2{,}5}{3}=\dfrac{5}{6}$ — ровно как в условии.