Термодинамическая… — Задание 8 ЕГЭ по физике №00015724

Идея

Сразу расшифруем условие на «человеческий». «Давление растёт пропорционально объёму» означает прямую $p = kV$ на $pV$-диаграмме (через начало координат). «Плотность уменьшилась в 2 раза» при постоянной массе означает, что объём вырос вдвое: $V_2 = 2V_1$. А раз $p\sim V$, то и давление выросло вдвое: $p_2 = 2p_1$. Работу на такой прямой удобно считать как площадь трапеции под графиком. Через работу мы найдём $p_1V_1$, а оно по уравнению состояния даст температуры.

Шаг 1. Работа как площадь под прямой

Объём растёт от $V_1$ до $V_2 = 2V_1$, давление — от $p_1$ до $p_2 = 2p_1$. Площадь под прямой (трапеция):

$A = \dfrac{p_1 + p_2}{2}\,(V_2 - V_1) = \dfrac{p_1 + 2p_1}{2}\,(2V_1 - V_1) = \dfrac{3}{2}\,p_1 V_1$.

Значит $p_1 V_1 = \dfrac{2A}{3} = \dfrac{2\cdot 5000}{3} \approx 3333$ Дж.

Шаг 2. Через уравнение состояния — к температуре

В состоянии 2: $p_2 V_2 = (2p_1)(2V_1) = 4\,p_1V_1$. По уравнению Клапейрона—Менделеева $p_2V_2 = \nu R T_2$ (здесь $\nu = 1$ моль):

$T_2 = \dfrac{p_2 V_2}{\nu R} = \dfrac{4\,p_1V_1}{R} = \dfrac{4\cdot 3333}{8{,}31} \approx 1600$ К.

(Удобно заметить: $T_2/T_1 = p_2V_2/(p_1V_1) = 4$, то есть в состоянии 2 газ вчетверо горячее, чем в 1.)