ID: 00015719
В цилиндр объёмом 0{,}5 м³ насосом закачивается воздух со скоростью 0{,}002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем длиной 0{,}5 м, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке A (см. рисунок). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5\cdot10^{-4} м². Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите расстояние AB, если считать стержень невесомым.
Источник: Сборник Гиголо
Задача склеена из двух частей. Сначала «газовая»: насос подкачивает воздух, давление в цилиндре растёт — по уравнению состояния. Потом «рычаг»: клапан держит стержень, и в момент открытия сила, с которой газ давит на клапан, как раз уравновешивает груз через правило моментов (рычаг). Найдём избыточное давление в момент открытия, переведём его в силу на клапан, а дальше — баланс моментов вокруг оси A.
Объём и температура постоянны, значит давление пропорционально массе газа (из pV=\tfrac{m}{M}RT при V,T=\text{const} получаем p\sim m). Найдём начальную массу воздуха: M=0{,}029 кг/моль,
m_0 = \dfrac{p_0 V M}{R T} = \dfrac{10^5\cdot 0{,}5\cdot 0{,}029}{8{,}31\cdot 300} \approx 0{,}58 кг.
За 580 с насос добавил \Delta m = 0{,}002\cdot 580 = 1{,}16 кг. Тогда давление вырастет во столько же раз, во сколько выросла масса:
p = p_0\cdot\dfrac{m_0+\Delta m}{m_0} = 10^5\cdot\dfrac{0{,}58+1{,}16}{0{,}58} \approx 3\cdot10^5 Па.
Избыточное давление (именно оно выталкивает клапан наружу): \Delta p = p - p_{атм} \approx 3\cdot10^5 - 10^5 = 2\cdot10^5 Па.
F = \Delta p\cdot S = 2\cdot10^5\cdot 5\cdot10^{-4} = 100 Н.
Стержень невесомый, ось в точке A. С одной стороны крутит вверх сила газа F на плече AB, с другой удерживает груз на конце стержня (плечо равно всей длине L=0{,}5 м). В момент открытия моменты равны:
F\cdot AB = m g\cdot L.
AB = \dfrac{m g L}{F} = \dfrac{2\cdot 10\cdot 0{,}5}{100} = \dfrac{10}{100} = 0{,}1 м.
(Рисунок здесь лишь иллюстрирует устройство: ось A, груз на свободном конце, клапан на расстоянии AB. Все числа есть в условии, задача решается без чертежа.)
Ответ: 0,1 м.