ID: 00015719
В цилиндр объёмом $0{,}5$ м³ насосом закачивается воздух со скоростью $0{,}002$ кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем длиной $0{,}5$ м, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке $A$ (см. рисунок). К свободному концу стержня подвешен груз массой $2$ кг. Клапан открывается через $580$ с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия $5\cdot10^{-4}$ м². Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна $300$ К. Определите расстояние $AB$, если считать стержень невесомым.
Источник: Сборник Гиголо
Задача склеена из двух частей. Сначала «газовая»: насос подкачивает воздух, давление в цилиндре растёт — по уравнению состояния. Потом «рычаг»: клапан держит стержень, и в момент открытия сила, с которой газ давит на клапан, как раз уравновешивает груз через правило моментов (рычаг). Найдём избыточное давление в момент открытия, переведём его в силу на клапан, а дальше — баланс моментов вокруг оси $A$.
Объём и температура постоянны, значит давление пропорционально массе газа (из $pV=\tfrac{m}{M}RT$ при $V,T=\text{const}$ получаем $p\sim m$). Найдём начальную массу воздуха: $M=0{,}029$ кг/моль,
$m_0 = \dfrac{p_0 V M}{R T} = \dfrac{10^5\cdot 0{,}5\cdot 0{,}029}{8{,}31\cdot 300} \approx 0{,}58$ кг.
За $580$ с насос добавил $\Delta m = 0{,}002\cdot 580 = 1{,}16$ кг. Тогда давление вырастет во столько же раз, во сколько выросла масса:
$p = p_0\cdot\dfrac{m_0+\Delta m}{m_0} = 10^5\cdot\dfrac{0{,}58+1{,}16}{0{,}58} \approx 3\cdot10^5$ Па.
Избыточное давление (именно оно выталкивает клапан наружу): $\Delta p = p - p_{атм} \approx 3\cdot10^5 - 10^5 = 2\cdot10^5$ Па.
$F = \Delta p\cdot S = 2\cdot10^5\cdot 5\cdot10^{-4} = 100$ Н.
Стержень невесомый, ось в точке $A$. С одной стороны крутит вверх сила газа $F$ на плече $AB$, с другой удерживает груз на конце стержня (плечо равно всей длине $L=0{,}5$ м). В момент открытия моменты равны:
$F\cdot AB = m g\cdot L$.
$AB = \dfrac{m g L}{F} = \dfrac{2\cdot 10\cdot 0{,}5}{100} = \dfrac{10}{100} = 0{,}1$ м.
(Рисунок здесь лишь иллюстрирует устройство: ось $A$, груз на свободном конце, клапан на расстоянии $AB$. Все числа есть в условии, задача решается без чертежа.)