ID: 00015713
В стакан с водой, нагретой до температуры $t_1 = 60\,^\circ C$, положили металлический шарик, имеющий температуру $t_2 = 25\,^\circ C$. После установления теплового равновесия температура воды стала $t_3 = 45\,^\circ C$. Определите температуру воды $t_4$ после того, как в стакан положили ещё один такой же шарик температурой $t_2$ (первый шарик остался в стакане). Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Тут нет никакого газа и никаких формул внутренней энергии — это чистая «бухгалтерия тепла». Сколько джоулей отдало одно тело, ровно столько получило другое (сосуд теплоизолирован). Это и есть уравнение теплового баланса. Удельные теплоёмкости нам не дадут — и не надо: они сократятся. Главный трюк задачи в том, что после первого опыта вода и первый шарик уже стали ОДНИМ тёплым телом с температурой $45\,^\circ C$, и именно к нему мы подбрасываем второй холодный шарик.
Обозначим полную теплоёмкость воды (со стаканом) как $C_в$, а одного шарика — $C_ш$. В первом опыте вода остыла с 60 до 45, а шарик нагрелся с 25 до 45. Запишем баланс (отдано = получено):
$C_в\cdot(60-45) = C_ш\cdot(45-25)$, то есть $15\,C_в = 20\,C_ш$.
Отсюда $C_ш = \dfrac{15}{20}\,C_в = \dfrac{3}{4}\,C_в$. Запомним это соотношение — больше про шарик ничего знать не нужно.
Теперь горячее тело — это «вода + первый шарик», его теплоёмкость $C_в + C_ш$, температура $45\,^\circ C$. К нему добавили холодный шарик ($C_ш$, $25\,^\circ C$). Пусть установится $t_4$:
$(C_в + C_ш)\cdot(45 - t_4) = C_ш\cdot(t_4 - 25)$.
Подставим $C_ш = \tfrac{3}{4}C_в$ и поделим всё на $C_в$:
$\left(1 + \tfrac{3}{4}\right)(45 - t_4) = \tfrac{3}{4}(t_4 - 25)$, то есть $1{,}75\,(45 - t_4) = 0{,}75\,(t_4 - 25)$.
Раскрываем: $78{,}75 - 1{,}75\,t_4 = 0{,}75\,t_4 - 18{,}75$, отсюда $2{,}5\,t_4 = 97{,}5$ и $t_4 = 39\,^\circ C$.