ID: 00015713
В стакан с водой, нагретой до температуры t_1 = 60\,^\circ C, положили металлический шарик, имеющий температуру t_2 = 25\,^\circ C. После установления теплового равновесия температура воды стала t_3 = 45\,^\circ C. Определите температуру воды t_4 после того, как в стакан положили ещё один такой же шарик температурой t_2 (первый шарик остался в стакане). Теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Тут нет никакого газа и никаких формул внутренней энергии — это чистая «бухгалтерия тепла». Сколько джоулей отдало одно тело, ровно столько получило другое (сосуд теплоизолирован). Это и есть уравнение теплового баланса. Удельные теплоёмкости нам не дадут — и не надо: они сократятся. Главный трюк задачи в том, что после первого опыта вода и первый шарик уже стали ОДНИМ тёплым телом с температурой 45\,^\circ C, и именно к нему мы подбрасываем второй холодный шарик.
Обозначим полную теплоёмкость воды (со стаканом) как C_в, а одного шарика — C_ш. В первом опыте вода остыла с 60 до 45, а шарик нагрелся с 25 до 45. Запишем баланс (отдано = получено):
C_в\cdot(60-45) = C_ш\cdot(45-25), то есть 15\,C_в = 20\,C_ш.
Отсюда C_ш = \dfrac{15}{20}\,C_в = \dfrac{3}{4}\,C_в. Запомним это соотношение — больше про шарик ничего знать не нужно.
Теперь горячее тело — это «вода + первый шарик», его теплоёмкость C_в + C_ш, температура 45\,^\circ C. К нему добавили холодный шарик (C_ш, 25\,^\circ C). Пусть установится t_4:
(C_в + C_ш)\cdot(45 - t_4) = C_ш\cdot(t_4 - 25).
Подставим C_ш = \tfrac{3}{4}C_в и поделим всё на C_в:
\left(1 + \tfrac{3}{4}\right)(45 - t_4) = \tfrac{3}{4}(t_4 - 25), то есть 1{,}75\,(45 - t_4) = 0{,}75\,(t_4 - 25).
Раскрываем: 78{,}75 - 1{,}75\,t_4 = 0{,}75\,t_4 - 18{,}75, отсюда 2{,}5\,t_4 = 97{,}5 и t_4 = 39\,^\circ C.
Ответ: 39 °C.