ID: 00015703
В камере, заполненной азотом, при температуре $T_0=300$ К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рисунок). Высота сосуда $L=50$ см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры $T_1$. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным $h=40$ см. Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры $T_0$. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным $H=46$ см. Чему равно $T_1$? Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во время эксперимента поддерживается постоянным.
Ответ дайте в кельвинах, округлите до целых.
Источник: Сборник Гиголо
В сосуде заперта порция азота. Её состояние описываем уравнением $\dfrac{pV}{T}=\text{const}$ (объём = высота столба × площадь). Давление внутри определяется условием равновесия пробки: к ней приложены наружное давление камеры $p_0$, внутреннее давление газа и сила трения, которая меняет направление в зависимости от того, куда пробка ползёт. Главная зацепка — сила трения одинакова при движении вниз и вверх.
В момент закрытия в сосуде было $p_0$, столб $L$, температура $T_0$. При нагреве до того же $T_0$ давление $p_2$ и столб $H$ связаны изотермой с начальным состоянием: $p_0L=p_2H$, откуда $p_2=p_0\dfrac{L}{H}$.
При охлаждении пробка идёт вниз (газ сжался), трение тянет вверх: $p_0=p_1+\dfrac{F_{тр}}{S}$. При нагреве пробка идёт вверх, трение тянет вниз: $p_2=p_0+\dfrac{F_{тр}}{S}$. Сила трения одна и та же, поэтому $p_0-p_1=p_2-p_0$, то есть $p_1=2p_0-p_2=p_0\left(2-\dfrac{L}{H}\right)$.
Состояние при $T_1$ связано с начальным: $\dfrac{p_0L}{T_0}=\dfrac{p_1h}{T_1}$. Отсюда $T_1=\dfrac{p_1h\,T_0}{p_0L}=\left(2-\dfrac{L}{H}\right)\dfrac{h\,T_0}{L}=\left(2-\dfrac{50}{46}\right)\dfrac{40\cdot 300}{50}\approx 219$ К.