ID: 00015703
В камере, заполненной азотом, при температуре T_0=300 К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рисунок). Высота сосуда L=50 см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры T_1. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным h=40 см. Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры T_0. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным H=46 см. Чему равно T_1? Величину силы трения между пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во время эксперимента поддерживается постоянным.
Ответ дайте в кельвинах, округлите до целых.
Источник: Сборник Гиголо
В сосуде заперта порция азота. Её состояние описываем уравнением \dfrac{pV}{T}=\text{const} (объём = высота столба × площадь). Давление внутри определяется условием равновесия пробки: к ней приложены наружное давление камеры p_0, внутреннее давление газа и сила трения, которая меняет направление в зависимости от того, куда пробка ползёт. Главная зацепка — сила трения одинакова при движении вниз и вверх.
В момент закрытия в сосуде было p_0, столб L, температура T_0. При нагреве до того же T_0 давление p_2 и столб H связаны изотермой с начальным состоянием: p_0L=p_2H, откуда p_2=p_0\dfrac{L}{H}.
При охлаждении пробка идёт вниз (газ сжался), трение тянет вверх: p_0=p_1+\dfrac{F_{тр}}{S}. При нагреве пробка идёт вверх, трение тянет вниз: p_2=p_0+\dfrac{F_{тр}}{S}. Сила трения одна и та же, поэтому p_0-p_1=p_2-p_0, то есть p_1=2p_0-p_2=p_0\left(2-\dfrac{L}{H}\right).
Состояние при T_1 связано с начальным: \dfrac{p_0L}{T_0}=\dfrac{p_1h}{T_1}. Отсюда T_1=\dfrac{p_1h\,T_0}{p_0L}=\left(2-\dfrac{L}{H}\right)\dfrac{h\,T_0}{L}=\left(2-\dfrac{50}{46}\right)\dfrac{40\cdot 300}{50}\approx 219 К.
Ответ: T₁ ≈ 219 К.