ID: 00015694
Воздушный шар, оболочка которого имеет объём $V = 400$ м$^3$ и массу вместе с корзиной $M = 250$ кг, наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры $t = 300$ °C. Определите максимальную температуру $t_0$ окружающего воздуха, при которой шар поднимается в воздух. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
Источник: Сборник Гиголо
Шар поднимается, пока сила Архимеда (она зависит от плотности наружного воздуха) не меньше веса оболочки и нагретого воздуха внутри. Чем холоднее снаружи, тем плотнее наружный воздух и тем сильнее Архимед — значит подъёму мешает именно тёплый наружный воздух. Ищем самую высокую наружную температуру, при которой шар ещё взлетает. Давление везде атмосферное ($p = 10^5$ Па), поэтому удобно работать через $\rho = \dfrac{pM_{\text{в}}}{RT}$.
$\rho_0 V = M + \rho_{\text{вн}} V$, где $\rho_0$ — плотность наружного воздуха при искомой $T_0$, а $\rho_{\text{вн}}$ — плотность горячего воздуха внутри при $T = 573$ К.
Внутри $\rho_{\text{вн}} = \dfrac{pM_{\text{в}}}{RT} = \dfrac{10^5 \cdot 0{,}029}{8{,}31 \cdot 573} \approx 0{,}609$ кг/м$^3$. Тогда нужная наружная плотность $\rho_0 = \dfrac{M}{V} + \rho_{\text{вн}} = \dfrac{250}{400} + 0{,}609 \approx 1{,}234$ кг/м$^3$. Наконец $T_0 = \dfrac{pM_{\text{в}}}{R\,\rho_0} = \dfrac{10^5 \cdot 0{,}029}{8{,}31 \cdot 1{,}234} \approx 283$ К.