ID: 00015694
Воздушный шар, оболочка которого имеет объём V = 400 м^3 и массу вместе с корзиной M = 250 кг, наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом, нагретым до температуры t = 300 °C. Определите максимальную температуру t_0 окружающего воздуха, при которой шар поднимается в воздух. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
Источник: Сборник Гиголо
Шар поднимается, пока сила Архимеда (она зависит от плотности наружного воздуха) не меньше веса оболочки и нагретого воздуха внутри. Чем холоднее снаружи, тем плотнее наружный воздух и тем сильнее Архимед — значит подъёму мешает именно тёплый наружный воздух. Ищем самую высокую наружную температуру, при которой шар ещё взлетает. Давление везде атмосферное (p = 10^5 Па), поэтому удобно работать через \rho = \dfrac{pM_{\text{в}}}{RT}.
\rho_0 V = M + \rho_{\text{вн}} V, где \rho_0 — плотность наружного воздуха при искомой T_0, а \rho_{\text{вн}} — плотность горячего воздуха внутри при T = 573 К.
Внутри \rho_{\text{вн}} = \dfrac{pM_{\text{в}}}{RT} = \dfrac{10^5 \cdot 0{,}029}{8{,}31 \cdot 573} \approx 0{,}609 кг/м^3. Тогда нужная наружная плотность \rho_0 = \dfrac{M}{V} + \rho_{\text{вн}} = \dfrac{250}{400} + 0{,}609 \approx 1{,}234 кг/м^3. Наконец T_0 = \dfrac{pM_{\text{в}}}{R\,\rho_0} = \dfrac{10^5 \cdot 0{,}029}{8{,}31 \cdot 1{,}234} \approx 283 К.
Ответ: 283