ID: 00015484
В таблице показано, как менялся ток $I$ в катушке идеального колебательного контура при свободных колебаниях (см. рисунок).
Найдите энергию конденсатора в момент времени $t=5\cdot10^{-6}$ с, если индуктивность катушки $L=4$ мГн. Ответ дайте в наноджоулях, округлите до десятых.
Источник: Сборник Гиголо
Контур идеальный — значит, потерь нет, и полная энергия всё время одна и та же. Она просто «переливается» между катушкой и конденсатором, как вода из стакана в стакан. Запас энергии удобно считать в тот момент, когда весь он сидит в катушке, — это момент максимального тока $I_0$ (тогда конденсатор пуст). Энергия катушки $W_L=\dfrac{LI^2}{2}$, и полная энергия контура $W=\dfrac{LI_0^2}{2}$.
Сначала снимем числа из таблицы. Наибольший по модулю ток — это амплитуда: $I_0=4\cdot10^{-3}$ А. В нужный нам момент $t=5\cdot10^{-6}$ с ток равен $I=-2{,}83\cdot10^{-3}$ А (для энергии важен только модуль, ведь ток входит в квадрате).
Полная энергия контура (вся в катушке при максимальном токе):
$W=\dfrac{LI_0^2}{2}=\dfrac{4\cdot10^{-3}\cdot(4\cdot10^{-3})^2}{2}=32\cdot10^{-9}$ Дж $=32$ нДж.
В момент $t=5\cdot10^{-6}$ с часть энергии сидит в катушке:
$W_L=\dfrac{LI^2}{2}=\dfrac{4\cdot10^{-3}\cdot(2{,}83\cdot10^{-3})^2}{2}\approx16\cdot10^{-9}$ Дж $=16$ нДж.
Остальное — в конденсаторе. Раз вся энергия сохраняется, то на конденсатор приходится разность:
$W_C=W-W_L=32-16=16$ нДж.
Маленькая проверка: $2{,}83\approx2\sqrt{2}$ — это ровно $I_0/\sqrt{2}$. При таком токе энергия делится поровну между катушкой и конденсатором, поэтому и получилось ровно половина от полной.