ID: 00015483
В таблице показано, как менялся ток $I$ в катушке идеального колебательного контура с течением времени $t$ (см. рисунок).
Найдите ёмкость конденсатора, если индуктивность катушки равна $L=4$ мГн. Ответ дайте в нанофарадах, округлите до десятых.
Источник: Сборник Гиголо
Перед нами идеальный колебательный контур — связка катушки и конденсатора, в которой ток свободно «качается» туда-сюда, как маятник. Период этих колебаний задаёт формула Томсона: $T=2\pi\sqrt{LC}$. Индуктивность $L$ нам дана, значит, если мы вытащим из таблицы период $T$, то сможем выразить ёмкость $C$.
Смотрим, как ведёт себя ток. В момент $t=0$ он равен $4\cdot10^{-3}$ А — это его наибольшее значение (амплитуда). Дальше ток спадает до нуля при $t=2\cdot10^{-6}$ с, доходит до $-4\cdot10^{-3}$ А при $t=4\cdot10^{-6}$ с, снова проходит через ноль и возвращается к прежнему максимуму $+4\cdot10^{-3}$ А при $t=8\cdot10^{-6}$ с.
Полный «круг» колебания — от максимума до следующего такого же максимума. Значит, период:
$T=8\cdot10^{-6}$ с.
(Промежуточные значения $\pm2{,}83\cdot10^{-3}$ А — это как раз $4/\sqrt{2}$, то есть ток в моменты «между» — лишнее подтверждение, что колебание ровное, синусоидальное.)
Возводим формулу Томсона в квадрат и выражаем $C$:
$T^{2}=4\pi^{2}LC \;\Rightarrow\; C=\dfrac{T^{2}}{4\pi^{2}L}.$
Подставляем $T=8\cdot10^{-6}$ с и $L=4\cdot10^{-3}$ Гн:
$C=\dfrac{(8\cdot10^{-6})^{2}}{4\pi^{2}\cdot4\cdot10^{-3}}=\dfrac{64\cdot10^{-12}}{1{,}58\cdot10^{-1}}\approx4{,}05\cdot10^{-10}\ \text{Ф}.$
Переводим в нанофарады ($1$ нФ $=10^{-9}$ Ф): $C\approx0{,}405$ нФ. Округляем до десятых.