ID: 00015481
В таблице показано, как менялся ток $I$ в катушке идеального колебательного контура с течением времени $t$ (см. рисунок). Чему равна максимальная энергия конденсатора (в нДж), если индуктивность катушки $L=4$ мГн?
Источник: Сборник Гиголо
В идеальном колебательном контуре нет потерь, поэтому полная энергия сохраняется и всё время «перетекает» между катушкой и конденсатором, как вода между двумя сообщающимися сосудами. Когда ток в катушке максимальный, конденсатор полностью разряжен — вся энергия сидит в катушке: $W_L=\dfrac{L I_{max}^2}{2}$. А в тот момент, когда конденсатор заряжен до предела, ток равен нулю — теперь вся та же энергия у конденсатора. Значит максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки: $$W_{C\,max}=W_{L\,max}=\dfrac{L I_{max}^2}{2}.$$
Из таблицы видно, что ток колеблется и его наибольшее по модулю значение (амплитуда) равно $I_{max}=4\cdot10^{-3}$ А (значения $\pm4$ в строке тока — это «верхушки» колебания; промежуточные $2{,}83\approx 4/\sqrt{2}$ это те же $4$, просто не в пике).
Переводим индуктивность: $L=4$ мГн $=4\cdot10^{-3}$ Гн. Подставляем:
$$W_{C\,max}=\dfrac{L I_{max}^2}{2}=\dfrac{4\cdot10^{-3}\cdot\left(4\cdot10^{-3}\right)^2}{2}=\dfrac{4\cdot10^{-3}\cdot 16\cdot10^{-6}}{2}.$$
$$W_{C\,max}=\dfrac{64\cdot10^{-9}}{2}=32\cdot10^{-9}\ \text{Дж}=32\ \text{нДж}.$$